Ответы
Ответ дал:
0
Дано уравнение:
2(y'+xy)=(x-1)e^(x)y^2, y(0)=2
Чтобы решить данное уравнение, необходимо воспользоваться методом Бернулли.
Домножим обе части уравнения на e^(2x) и преобразуем его:
2e^(2x)y' + 2xe^(2x)y = (x-1)e^(3x)y^2
Выразим производную y':
y' = (-xe^x + e^-x(x-1)y^2) / 2
Теперь воспользуемся заменой:
z = y^-1
Тогда:
z' = -y^-2 * y' = (xe^x - (x-1)) / (2y^2 * e^x)
Решим полученное уравнение относительно z:
z = -1/(2y) + Ce^-x
Теперь найдем константу C, воспользовавшись начальным условием y(0) = 2:
z(0) = -1/(2*2) + Ce^0 = -1/4 + C = 2^-1
C = 2^-1 + 1/4 = 3/4
Таким образом, имеем:
z = -1/(2y) + (3/4)e^-x
Обратная замена дает решение исходного уравнения:
y = (2 - 3e^x/4) / (2e^-x)
2(y'+xy)=(x-1)e^(x)y^2, y(0)=2
Чтобы решить данное уравнение, необходимо воспользоваться методом Бернулли.
Домножим обе части уравнения на e^(2x) и преобразуем его:
2e^(2x)y' + 2xe^(2x)y = (x-1)e^(3x)y^2
Выразим производную y':
y' = (-xe^x + e^-x(x-1)y^2) / 2
Теперь воспользуемся заменой:
z = y^-1
Тогда:
z' = -y^-2 * y' = (xe^x - (x-1)) / (2y^2 * e^x)
Решим полученное уравнение относительно z:
z = -1/(2y) + Ce^-x
Теперь найдем константу C, воспользовавшись начальным условием y(0) = 2:
z(0) = -1/(2*2) + Ce^0 = -1/4 + C = 2^-1
C = 2^-1 + 1/4 = 3/4
Таким образом, имеем:
z = -1/(2y) + (3/4)e^-x
Обратная замена дает решение исходного уравнения:
y = (2 - 3e^x/4) / (2e^-x)
Вас заинтересует
3 месяца назад
3 месяца назад
3 месяца назад
3 месяца назад
1 год назад
1 год назад
7 лет назад