Question

2(y'+xy)=(x-1)exp(x)y^2 ,y(0)=2

Answer 1

Дано уравнение:

2(y'+xy)=(x-1)e^(x)y^2, y(0)=2

Чтобы решить данное уравнение, необходимо воспользоваться методом Бернулли.

Домножим обе части уравнения на e^(2x) и преобразуем его:

2e^(2x)y' + 2xe^(2x)y = (x-1)e^(3x)y^2

Выразим производную y':

y' = (-xe^x + e^-x(x-1)y^2) / 2

Теперь воспользуемся заменой:

z = y^-1

Тогда:

z' = -y^-2 * y' = (xe^x - (x-1)) / (2y^2 * e^x)

Решим полученное уравнение относительно z:

z = -1/(2y) + Ce^-x

Теперь найдем константу C, воспользовавшись начальным условием y(0) = 2:

z(0) = -1/(2*2) + Ce^0 = -1/4 + C = 2^-1

C = 2^-1 + 1/4 = 3/4

Таким образом, имеем:

z = -1/(2y) + (3/4)e^-x

Обратная замена дает решение исходного уравнения:

y = (2 - 3e^x/4) / (2e^-x)