Question

1.5. Дан тетраэдр ABCD, в котором точки К и М - середины отрезков AC и KD. Разложите вектор ВМ по векторам DA, DB, DC.​

Answer 1

Для решения задачи нам нужно разложить вектор ВМ на составляющие, параллельные каждой из сторон тетраэдра.

Обозначим векторы AB, AD и AK через a, b и c соответственно. Тогда вектор BM можно выразить следующим образом:

BM = BK + KM = (a + c)/2 + (c - a)/2 = c/2

Аналогично, вектор DM можно выразить как:

DM = DK + KM = b + (c - a)/2 = (a + b + c)/2

Теперь мы можем разложить вектор ВМ по векторам DA, DB и DC:

BM = (BD - DM) + (DM - DA) + (DA - BM)

где BD = -b, DM = (a + b + c)/2, DA = -a.

Подставляя значения, получим:

BM = (-b - (a + b + c)/2) + ((a + b + c)/2 + a) + (-a + c/2)

Дальше нужно выполнить арифметические действия и привести подобные слагаемые. Получим:

BM = (c/2 - b/2) + a

Таким образом, разложение вектора ВМ по векторам DA, DB, DC имеет вид:

BM = (c/2 - b/2) DA + a DB + (c/2 - a/2) DC