Question

Найдите k, если число натуральных делителей числа a равно 10
$a = {3}^{k} \times 2$
​

Answer 1

Если некоторое число N представлено в виде произведения степеней простых чисел:

$N=p_1^{m_1}\cdot p_2^{m_2}\cdot \ldots\cdot p_n^{m_n}$,

то количество натуральных делителей этого числа N определяется по формуле:

$d(N)=(m_1+1)\cdot(m_2+1)\cdot\ldots\cdot(m_n+1)$

Рассмотрим число $a$:

$a=3^k\cdot2=2^1\cdot3^k$

Оно представлено в виде произведения степеней простых чисел 2 и 3. Найдем число его делителей:

$d(a)=(1+1)\cdot(k+1)=2(k+1)$

По условию же это число имеет 10 делителей. Получаем уравнение:

$2(k+1)=10$

$k+1=5$

$k=4$

Ответ: 4