Question

Знайти похідну функції, використовуючи логарифмічне диференціювання F(x)=arctg(1+(cosx)^sinx)

Answer 1

Ответ:

    $\bf f(x)=arctg\Big(1+(cosx)^{sinx}\Big)$  

Производная сложной функции :   $\bf (arctg\, u)'=\dfrac{1}{1+u^2}\cdot u'$   ,   где  

$\bf u=1+(cosx)^{sinx}$  .    

$\bf f'(x)=\dfrac{1}{1+(1+(cosx)^{sinx})^2}\cdot \Big(1+(cosx)^{sinx}\Big)'=\\\\\\=\dfrac{1}{1+(1+(cosx)^{sinx})^2}\cdot \Big((cosx)^{sinx}\Big)'$  

Найдём производную функции  $\bf y=(cosx)^{sinx}$  , применяя логарифмическое дифференцирование .

$\bf ln\, y=ln(cosx)^{sinx}\\\\(ln\, y)'=\Big(sinx\cdot ln(cosx)\Big)'\\\\\dfrac{y'}{y}=cosx\cdot ln(cosx)+sinx\cdot \dfrac{1}{cosx}\cdot (-sinx)\\\\\dfrac{y'}{y}=cosx\cdot ln(cosx)-tgx\cdot sinx\\\\y'=y\cdot \Big(cosx\cdot ln(cosx)-tgx\cdot sinx\Big)\\\\y'=(cosx)^{sinx}\cdot \Big(cosx\cdot ln(cosx)-tgx\cdot sinx\Big)$  

Теперь подставим найденное выражение в производную  f'(x) .

$\bf f'(x)=\dfrac{1}{1+(1+(cosx)^{sinx})^2}\cdot (cosx)^{sinx}\cdot \Big(cosx\cdot ln(cosx)-tgx\cdot sinx\Big)$