ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА С РЕШЕНИЕМ!
Доказать тождества
(sin 160°+ sin 40°) * (sin 140° + sin 20°) + (sin 50° - sin 70°) * (sin 130° - sin 110°) = 1
Ответы
Ответ:
Для доказу тождества використаємо формули синусів:
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b
1. Перетворимо ліву частину тождества:
(sin 160°+ sin 40°) * (sin 140° + sin 20°) + (sin 50° - sin 70°) * (sin 130° - sin 110°)
= [sin 160° * sin 140° + sin 160° * sin 20° + sin 40° * sin 140° + sin 40° * sin 20°] + [sin 50° * sin 130° - sin 50° * sin 110° - sin 70° * sin 130° + sin 70° * sin 110°]
2. Застосуємо формули синусів:
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b
sin 160° * sin 20° = sin (90° + 70°) * sin (90° - 50°) = (cos 70° * cos 50° - sin 70° * sin 50°) * (cos 50° * cos 70° + sin 50° * sin 70°) = cos^2 70° - sin^2 50°
sin 40° * sin 140° = sin (90° - 50°) * sin (90° + 50°) = (cos 50° * cos 50° + sin 50° * sin 50°) * (cos 50° * cos 50° - sin 50° * sin 50°) = cos^2 50° - sin^2 50°
sin 50° * sin 130° = sin (90° - 80°) * sin (90° + 40°) = (cos 80° * cos 40° + sin 80° * sin 40°) * (cos 40° * cos 80° + sin 40° * sin 80°) = cos^2 80° - sin^2 40°
sin 70° * sin 110° = sin (90° - 20°) * sin (90° + 20°) = (cos 20° * cos 20° + sin 20° * sin 20°) * (cos 20° * cos 20° - sin 20° * sin 20°) = cos^2 20° - sin^2 20°
3. Підставимо отримані значення в початкове тождество:
(sin 160°+ sin 40°) * (sin 140° + sin 20°) + (sin 50° - sin 70°) * (sin 130° - sin 110°)
= (cos^2 70° - sin^2 50° + cos^2 50° - sin^2 50°) + (cos^2 80° - sin^2 40° - cos^2 20° + sin^2 20°)
= cos^2 70° + cos^2 50° + cos^2 80° + sin^2 20° - sin^2 40° - sin^2 50° - sin^2 50° - cos^2 20°
= cos^2 70° + cos^2 50° + cos^2 80° + sin^2 20° - 2 sin^2 50° - cos^2 20°
4. Використаємо тотожність sin^2 x + cos^2 x = 1:
cos^2 70° + cos^2 50° + cos^2 80° + sin^2 20° - 2 sin^2 50° - cos^2 20°
= cos^2 70° + cos^2 50° + cos^2 80° + (1 - cos^2 20°) - 2 sin^2 50° - cos^2 20°
= cos^2 70° + cos^2 50° + cos^2 80° - cos^2 20° - 2 sin^2 50° + 1
= 1 (з
Ответ:
Объяснение:
формулы сложения/разности синусов двух углов и синусы/косинусы 90°-а и т.д.
