Ответы
Ответ:Дана система рівнянь:
x^3 + y^3 = 9 ---(1)
x^2 - xy + y^2 = 3 ---(2)
Щоб вирішити систему, можна спочатку виключити одну зі змінних, скажімо y.
Зведемо друге рівняння до квадрата і отримаємо:
(x^2 - xy + y^2)^2 = 3^2
x^4 + y^4 + 2x^2y^2 + x^2y^2 - 2x^3y - 2xy^3 + 3x^2 + 3y^2 - 6xy = 9
Замінимо x^3 + y^3 в першому рівнянні за допомогою формули a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2):
(x+y)(x^2 - xy + y^2) = 9
(x+y)(3 - xy) = 9
x + y = 9 / (3 - xy) ---(3)
Тепер можна підставити вираз для x + y в друге рівняння замість x або y і отримати квадратне рівняння з однією змінною.
Наприклад, підставимо x = 9 / (3 - y) - y в друге рівняння:
(9 / (3 - y) - y)^2 - (9 / (3 - y) - y)y + y^2 = 3
Розкриваємо дужки та спрощуємо:
y^4 - 6y^3 + 15y^2 - 12y - 9 = 0
Це квадратне рівняння в змінній y^2. Розв'язуємо його за допомогою стандартної формули для квадратного рівняння і отримуємо:
y^2 = 3 або y^2 = 1
Якщо y^2 = 3, то з (3) маємо:
x + y = -3
Це протиріччя, оскільки x і y є дійсними числами, а сума двох дійсних чисел не може дорівнювати від'ємному числу.
Отже, розв'язком системи є дві пари чисел:
x = 1, y = 2 або x = 2, y = 1;
x = -1, y = -2 або x = -2, y = -1.
Перевіримо ці значення, підставивши їх у вихідні рівняння: