Question

5.8. Докажите неравенство: 1) x 2 + 2x + 2 > 0; 2) y² - by + 10 > 0; 3) a² + ab + b² > 0; 4) a² - ab+b² >0.​

Answer 1

Ответ:

Неравенства доказаны.

Пошаговое объяснение:

Докажите неравенство:

1) х²+2х+2>0;   2) y² - 6y +10 >0;     3) a²+ab+b²>0;    4) a²- ab +b ²>0 .

Воспользуемся формулами сокращенного умножения

$(a-b)^{2} =a^{2} -2ab+b^{2} ;\\(a+b)^{2} =a^{2} +2ab+b^{2}$

и выделим квадрат двучлена

1) х²+2х+2= х²+2х+1+1 =(x+1) ² + 1 >0,  так как (x+1) ²≥0 при любых значениях х.

Если к неотрицательному числу прибавить положительное число 1, то получим положительное число и неравенство доказано.

2) y² - 6y +10 = 2) y² - 6y + 9 + 1  =(y -3) ² +1 >0, так как (y -3) ²≥0 при любых значениях y.

Если к неотрицательному числу прибавить положительное число 1, то получим положительное число и неравенство доказано.

$3)a^{2} +ab+b^{2} =a^{2} +2\cdot a\cdot \dfrac{b}{2} +\dfrac{b^{2} }{4} +\dfrac{3b^{2} }{4} =\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^{2} +\dfrac{3b^{2} }{4} > 0$

Сумма квадратов положительна.

$4)a^{2} -ab+b^{2} =a^{2} -2\cdot a\cdot \dfrac{b}{2} +\dfrac{b^{2} }{4} +\dfrac{3b^{2} }{4} =\left(a-\dfrac{b}{2}\right)^{2} +\dfrac{3b^{2} }{4} > 0$

Сумма квадратов положительна.

#SPJ1