Question

........................................................

Answer 1

Рассмотрим числа, соответствующие заданным точкам:

$A=1+i\sqrt{3} ;\ B=4i;\ C=6i$

Запишем число $A$ в тригонометрической форме:

$|A|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3} )^2} =2;\ \arg A=\mathrm{arctg}{\,}\dfrac{\sqrt{3} }{1} =\dfrac{\pi }{3}$

$\Rightarrow A=2\left(\cos\dfrac{\pi }{3}+i\sin \dfrac{\pi }{3} \right)$

Рассмотрим конечную ситуацию, когда точка $A$ повернулась на некоторый угол $\theta$. Для отличия конечную точку обозначим $A'$.

По условию точки $A'$, $B$, $C$ лежат на одной прямой, причем $A'B=BC$. Значит, точка $B$ является серединой отрезка $A'C$.

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.

Рассмотрим точки:

$A(A_1;\ A_2);\ B(B_1;\ B_2)=(0;\ 4);\ C(C_1;\ C_2)=(0;\ 6)$

Для первых координат получим:

$B_1=\dfrac{A'_1+C_1}{2} \Rightarrow A'_1=2B_1-C_1=2\cdot0-0=0$

Для вторых координат получим:

$B_2=\dfrac{A'_2+C_2}{2} \Rightarrow A'_2=2B_2-C_2=2\cdot4-6=2$

Значит, точка $A'$ имеет координаты $(0;\ 2)$. Соответствующее ей число:

$A'=2i=2\left(\cos\dfrac{\pi }{2}+i\sin\dfrac{\pi }{2} \right)$

Таким образом, при повороте точка, соответствующая числу $2\left(\cos\dfrac{\pi }{3}+i\sin \dfrac{\pi }{3} \right)$, перешла в точку, соответствующую числу $2\left(\cos\dfrac{\pi }{2}+i\sin \dfrac{\pi }{2} \right)$.

Все углы поворота (угол поворота с точностью до 2п) можно найти, составив и решив уравнение:

$\dfrac{\pi }{3} -\theta+2\pi n=\dfrac{\pi }{2}$

Так как по условию угол $\theta$ выполнен по часовой стрелке, то есть в отрицательное направлении тригонометрической окружности, то в вышеприведенной формуле угол $\theta$ вычитается из исходного аргумента (с точностью до 2п).

$\theta=\dfrac{\pi }{3} -\dfrac{\pi }{2}+2\pi n$

$\theta=-\dfrac{\pi }{6} +2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Останется отобрать корни на необходимом промежутке:

$0\leqslant -\dfrac{\pi }{6} +2\pi n < 2\pi$

$0\leqslant -\dfrac{1 }{6} +2 n < 2$

$\dfrac{1 }{6}\leqslant 2 n < 2\dfrac{1 }{6}$

$\dfrac{1 }{12}\leqslant n < 1\dfrac{1 }{12}$

При $n=1$:

$\theta_1=-\dfrac{\pi }{6} +2\pi \cdot1=\dfrac{11\pi }{6}$

Тот же ответ можно получить, проанализировав рисунок. Заметим, что для записанных выше чисел $A=2\left(\cos\dfrac{\pi }{3}+i\sin \dfrac{\pi }{3} \right)$ и $A'=2\left(\cos\dfrac{\pi }{2}+i\sin \dfrac{\pi }{2} \right)$, аргумент числа $A$ меньше аргумента числа $A'$. Но точка, соответствующая числу $A$, соответствует в силу периодичности еще ряду чисел. Прибавим к аргументу числа $A$ основной период синуса и косинуса, чтобы получить новое число, соответствующее графически той же точке, но имеющее больший аргумент:

$2\left(\cos\dfrac{\pi }{3}+i\sin \dfrac{\pi }{3} \right)=2\left(\cos\left(\dfrac{\pi }{3}+2\pi \right)+i\sin\left(\dfrac{\pi }{3}+2\pi \right) \right)=2\left(\cos\dfrac{7\pi }{3}+i\sin \dfrac{7\pi }{3} \right)$

Теперь, аргумент числа $A$ складывается из аргумента числа $A'$ и искомого угла поворота.

Найдем разность аргументов:

$\theta_1=\dfrac{7\pi }{3} -\dfrac{\pi }{2} =\dfrac{14\pi }{6} -\dfrac{3\pi }{6} =\dfrac{11\pi }{6}$

Ответ: 11п/6