При яких значеннях параметра а рівняння (а²+13а+20)sin x -10 cos 2x +10= 0 має 4 корені що належать відрізку [0;2π]
Ответы
Почнемо з переписування рівняння у вигляді, зручному для подальшого аналізу:
(а²+13а+20)sin x = 10 cos 2x - 10
Далі використаємо тотожність для косинуса подвійного кута: cos 2x = 2 cos² x - 1. Підставимо це у рівняння:
(а²+13а+20)sin x = 20 cos² x - 10 - 10
(а²+13а+20)sin x - 20 cos² x = -20
Поділимо обидві частини на -20 і поміняємо місцями:
cos² x - (а²+13а+20)/20 sin x + 1 = 0
Тепер можемо застосувати критерій Діксона: рівняння a sin x + b cos x + c = 0 має розв'язок на проміжку [0, 2π], якщо √(a²+b²) ≤ c ≤ |a|+|b|.
У нашому випадку a = -(а²+13а+20)/20, b = 0, c = 1. Підставляємо значення в нерівність і розв'язуємо її відносно параметра а:
√((а²+13а+20)²/400) ≤ 1 ≤ |(а²+13а+20)/20| + 0
а² + 13а + 20 ≤ 20 і -20 ≤ а² + 13а + 20 ≤ 20
-33 ≤ а ≤ -4 або а ≤ -9 або а ≥ 1
Отже, для того, щоб рівняння мало 4 корені на проміжку [0, 2π], параметр а має належати до одного з наступних інтервалів: (-33, -9), (-∞, -4) або (1, ∞).