Question

матеша 20 баллов хелп

Answer 1

Ответ:

Решить логарифмическое неравенство .

$\bf log_3^2(9x^2) < 16\ \ ,\ \ \ ODZ:\ x\ne 0\ \ ,\\\\log^2_3(9x^2)-16 < 0\\\\\Big(log_3(9x^2)-4\Big)\Big(log_3(9x^2)+4\Big) < 0$  

Произведение отрицательно, если множители имеют разные знаки .

$\bf a)\left\{\begin{array}{l}\bf log_3(9x^2)-4 < 0\\\bf log_3(9x^2)+4 > 0\end{array}\\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf log_3(9x^2) < 4\\\bf log_3(9x^2) > -4\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf 9x^2 < 3^4\\\bf 9x^2 > 3^{-4}\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf (3x)^2-9^2 < 0\\\bf (3x)^2-(\frac{1}{9})^2 > 0\end{array}\right$

Применяем формулу разности квадратов . Полученные неравенства решаем методом интервалов (устно) .

$\left\{\begin{array}{l}\bf (3x-9)(3x+9) < 0\\\bf (3x-\frac{1}{9})(3x+\frac{1}{9}) > 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf (x-3)(x+3) < 0\\\bf (x-\frac{1}{27})(x+\frac{1}{27}) > 0\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}\bf x\in (-3;3)\\\bf x\in (-\infty ;-\frac{1}{27})\cup(\frac{1}{27};+\infty )\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \bf x\in \Big(-3\ ;-\dfrac{1}{27}\Big)\cup \Big(\dfrac{1}{27}\ ;\ 3\ \Big)$  

$\bf b)\left\{\begin{array}{l}\bf log_3(9x^2)-4 > 0\\\bf log_3(9x^2)+4 < 0\end{array}\\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf log_3(9x^2) > 4\\\bf log_3(9x^2) < -4\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf 9x^2 > 3^4\\\bf 9x^2 < 3^{-4}\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf (3x)^2-9^2 > 0\\\bf (3x)^2-(\frac{1}{9})^2 < 0\end{array}\right$  

$\left\{\begin{array}{l}\bf (3x-9)(3x+9) > 0\\\bf (3x-\frac{1}{9})(3x+\frac{1}{9}) < 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf (x-3)(x+3) > 0\\\bf (x-\frac{1}{27})(x+\frac{1}{27}) < 0\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}\bf x\in (-\infty ;-3\, )\cup (\ 3\, ;+\infty )\\\bf x\in (-\frac{1}{27}\, ;\, \frac{1}{27}\, )\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \boldsymbol{x\in \varnothing }$  

Ответ:   $\boldsymbol{ x\in \Big(-3\ ;-\dfrac{1}{27}\Big)\cup \Big(\dfrac{1}{27}\ ;\ 3\ \Big)}$   .