Из набора чисел {1,2,3...15} выбрали случайным образом 3 числа. Найдите вероятность того, что их сумма окажется чётной.
Ответы
Вероятность определим как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:
Общее число исходов соответствует числу способов, которыми можно выбрать 3 числа из имеющихся в наборе 15. Оно же равно числу сочетаний из 15 элементов по 3:
Определим число благоприятных исходов.
Сумма некоторых чисел будет четной, если нечетных среди них - четное количество.
Тогда, так как мы рассматриваем сумму трех чисел, то нечетными из них могут быть 0 или 2 для получения четной суммы.
Заметим, что в наборе чисел {1; 2; 3; ...; 15} содержится 7 четных и 8 нечетных чисел.
1 случай. Выбрано 0 нечетных чисел. Другими словами, все выбранные числа - четные. Количество способов выбрать 3 четных числа из 7 имеющихся в наборе равно числу сочетаний из 7 элементов по 3:
2 случай. Выбрано 2 нечетных числа. Тогда, третье выбранное число - четное. Количество способов выбрать 2 нечетных числа из 8 имеющихся в наборе равно числу сочетаний из 8 элементов по 2, а количество способов выбрать 1 четное число из 7 имеющихся в наборе равно числу сочетаний из 7 элементов по 1. Поскольку любому выбору нечетных чисел мы можем сопоставить любой выбор четного числа, то общее число способов выбрать три числа, 2 из которых четные, а 1 нечетное, равно произведению двух вышеуказанных величин:
1 и 2 случаи несовместны. Поэтому, число благоприятных исходов складывается из двух составляющих:
Найдем вероятность:
Ответ: 33/65