Question

Из набора чисел {1,2,3...15} выбрали случайным образом 3 числа. Найдите вероятность того, что их сумма окажется чётной.

Answer 1

Вероятность определим как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A)=\dfrac{m}{n}$

Общее число исходов соответствует числу способов, которыми можно выбрать 3 числа из имеющихся в наборе 15. Оно же равно числу сочетаний из 15 элементов по 3:

$n=C_{15}^3$

Определим число благоприятных исходов.

Сумма некоторых чисел будет четной, если нечетных среди них - четное количество.

Тогда, так как мы рассматриваем сумму трех чисел, то нечетными из них могут быть 0 или 2 для получения четной суммы.

Заметим, что в наборе чисел {1; 2; 3; ...; 15} содержится 7 четных и 8 нечетных чисел.

1 случай. Выбрано 0 нечетных чисел. Другими словами, все выбранные числа - четные. Количество способов выбрать 3 четных числа из 7 имеющихся в наборе равно числу сочетаний из 7 элементов по 3:

$m_1=C_7^3$

2 случай. Выбрано 2 нечетных числа. Тогда, третье выбранное число - четное. Количество способов выбрать 2 нечетных числа из 8 имеющихся в наборе равно числу сочетаний из 8 элементов по 2, а количество способов выбрать 1 четное число из 7 имеющихся в наборе равно числу сочетаний из 7 элементов по 1. Поскольку любому выбору нечетных чисел мы можем сопоставить любой выбор четного числа, то общее число способов выбрать три числа, 2 из которых четные, а 1 нечетное, равно произведению двух вышеуказанных величин:

$m_2=C_8^2\cdot C_7^1$

1 и 2 случаи несовместны. Поэтому, число благоприятных исходов складывается из двух составляющих:

$m=m_1+m_2=C_7^3+C_8^2\cdot C_7^1$

Найдем вероятность:

$P(A)=\dfrac{m}{n}=\dfrac{C_7^3+C_8^2\cdot C_7^1}{C_{15}^3}=\dfrac{\dfrac{7\cdot6\cdot5}{1\cdot2\cdot3} +\dfrac{8\cdot7}{1\cdot2}\cdot7}{\dfrac{15\cdot14\cdot13}{1\cdot2\cdot3} }=\dfrac{7\cdot6\cdot5+8\cdot7\cdot7\cdot3}{15\cdot14\cdot13 }=$

$=\dfrac{6\cdot5+8\cdot7\cdot3}{15\cdot2\cdot13 }=\dfrac{2\cdot5+8\cdot7}{5\cdot2\cdot13 }=\dfrac{5+4\cdot7}{5\cdot13 }=\dfrac{5+28}{65}=\dfrac{33}{65}$

Ответ: 33/65