Question

Равнобочная трапеция с основаниями 12 см и 24 см и высотой 8 см в первый раз вращается около меньшего основания, а во второй — около большего. Сравните объемы тел вращения.

Помогите пожалуйста!

Answer 1

Объем тела вращения можно найти по формуле:

V = π * ∫(от a до b) y^2 dx

где y - расстояние от точки на плоскости до оси вращения, a и b - границы интегрирования по оси x.

Для первого случая, когда трапеция вращается около меньшего основания, ось вращения проходит через середину меньшей стороны. Расстояние от точки плоскости до оси вращения равно y = 6 - x/3 (где x - расстояние от точки плоскости до меньшего основания). Границы интегрирования: от 0 до 12.

Тогда объем тела вращения для первого случая будет равен:

V1 = π * ∫(от 0 до 12) (6 - x/3)^2 dx ≈ 1050,39 см^3

Для второго случая, когда трапеция вращается около большего основания, ось вращения проходит через середину большей стороны. Расстояние от точки плоскости до оси вращения равно y = 4 + x/3 (где x - расстояние от точки плоскости до меньшего основания). Границы интегрирования: от 0 до 24.

Тогда объем тела вращения для второго случая будет равен:

V2 = π * ∫(от 0 до 24) (4 + x/3)^2 dx ≈ 2777,46 см^3

Следовательно, объем тела вращения для второго случая будет больше, чем для первого:

V2 > V1

Ответ: объем тела вращения для второго случая больше, чем для первого.