Question

Как мне тут найти коэффицент x^3? Спасибо большое заранее!

Answer 1

Ответ:

-31/2

Объяснение:

Чтобы найти коэффициент в разложении в ряд Тейлора, можно либо взять производную нужного порядка, либо найти коэффициент как-то ещё.

Я воспользуюсь известным разложением:

$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}2 x^2+\dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}x^3+\dots\\\dots+\dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\dots(\alpha-k+1)}{k!}x^k+\dots$

Это разложение справедливо в окрестности нуля для всех α, при этом для натуральных α это просто разложение бинома Ньютона и сумма содержит только конечное число слагаемых.

С числителем всё просто:

$(1-2x)^4=1-8x+24x^2-32x^3+\dots$

Со знаменателем немного сложнее:

$\dfrac1{\sqrt{4+x^2}}=\dfrac12\cdot\dfrac1{\sqrt{1+(x/2)^2}}=\dfrac12\left(1+\dfrac{x^2}4\right)^{-1/2}=\dfrac12\left(1-\dfrac{x^2}8+\dots\right)$

В обоих случаях выписаны слагаемые, содержащие степень x не выше третьей.

Тогда

$\dfrac{(1-2x)^4}{\sqrt{4+x^2}}=(1-8x+24x^2-32x^3+\dots)\times\dfrac12\left(1-\dfrac{x^2}8+\dots\right)$

В произведении по условию нужно найти коэффициент при x³. Такая степень переменной получится, если из первой скобки взять линейное слагаемое и из второй квадратичное или из первой пропорциональное кубу, а из второй постоянное:

$(-8x)\cdot\dfrac12\cdot\left(-\dfrac {x^2}8\right)+(-32x^3)\cdot\dfrac 12=\left(\dfrac 12-16\right) x^3=-\dfrac{31}2 x^3$