Question

Обчислити криволінійні інтеграли першого роду за другою кривої L.

Answer 1

Ответ:

Криволинейный интеграл 1 рода .

Отрезок прямой от точки  О(0;0)  до точки  В(2;2) - это  отрезок биссектрисы 1 и 3 координатных углов ,  уравнение которого  

 $\bf y=x\ \ \Rightarrow \ \ dl=\sqrt{1+(y')^2}\ dx=\sqrt{1+1^2}\ dx=\sqrt{2}\ dx$  

$\bf \displaystyle \int \limits _{L}\frac{dl}{\sqrt{8-x^2-y^2} }=\int\limit_0^2\frac{\sqrt2\, dx}{\sqrt{8-x^2-x^2}}=\int\limit_0^2\frac{\sqrt2\, dx}{\sqrt{8-2x^2}}=\int\limit_0^2\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}=\\\\\\=arcsin\frac{x}{2}\ \Big|_0^2=arcsin\, 1-arcsin\, 0=\frac{\pi }{2}-0=\frac{\pi}{2}$