Question

Коло, вписане в у трикутник, ABC дотикається до його сторін у точках M,Kі E, BK = 24 см ( 5 см) KC =6 см(7 см) , AM = 10 см (12 см) Знайдіть периметр трикутника ABC
​

Answer 1

За властивостями вписаного кола в трикутник, довжина сторони трикутника дорівнює сумі довжин відрізків, які дотикаються до кола:

BC = BK + KC = 24 см + 6 см = 30 см

AC = AM + MC = 10 см + MC

AB = AK + KB = 12 см + 5 см = 17 см

Тепер потрібно знайти довжину відрізку MC. Для цього звернемося до формули площі трикутника через вписане коло:

S = p*r, де p - півпериметр трикутника, r - радіус вписаного кола.

Півпериметр трикутника:

p = (AB + BC + AC) / 2 = (17 см + 30 см + 10 см + MC) / 2 = (57 см + MC) / 2

Радіус вписаного кола можна знайти за допомогою формули:

r = S / p, де S - площа трикутника, яка дорівнює площі вписаного кола.

Площа вписаного кола може бути знайдена двома способами:

S = p*r^2, де r - радіус вписаного кола, p - півпериметр трикутника

S = (a+b+c)*r/2, де a, b, c - довжини сторін трикутника, r - радіус вписаного кола

Отримаємо систему рівнянь:

S = p*r

S = (a+b+c)*r/2

Підставляючи визначення площі висаного кола в ці рівняння, отримаємо:

p*r = (a+b+c)*r/2

p = (a+b+c)/2

Отже, p = (17 см + 30 см + 10 см + MC) / 2 = (57 см + MC) / 2

r = S / p = ((17 см + 30 см + 10 см + MC) * r^2) / (2 * (57 см + MC))

Так як коло дотикається до сторін у точках M, K і E, то рівність r = MC = KE = KB.

Підставляємо r у формулу для MC:

MC = ((17 см + 30 см + 10 см + MC) * r^2) / (2 * (57 см + MC))

Після перетворень отримуємо квадратне рівняння:

2MC^2 - 114MC -