Ответы
Ответ:
Для начала заметим, что все числа в данном неравенстве неотрицательны, т.к. корень из отрицательного числа не существует.
Рассмотрим левую часть неравенства:
√(x^2/y) + √(y^2 / x)
Применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для двух положительных чисел x и y:
(√x + √y)/2 ≤ √(xy)
Это неравенство можно переписать в виде √x/√(xy) + √y/√(xy) ≤ (√x + √y)/2.
Применим это неравенство дважды, для первого и второго слагаемых в левой части изначального неравенства, получим:
√(x^2/y)/√(x+y) + √(y^2/x)/√(x+y) ≤ (√x + √y)/2
Обе дроби в левой части можно сложить, используя неравенство треугольника:
√(x^2/y)/√(x+y) + √(y^2/x)/√(x+y) ≥ √((x^2/y + y^2/x)/(x+y))
Раскроем скобки в числителе дроби в правой части:
(x^3 + y^3)/(xy(x+y))
Тогда неравенство примет вид:
√((x^3 + y^3)/(xy(x+y))) ≤ (√x + √y)/2
Для доказательства этого неравенства можно возвести обе части в квадрат:
x^3 + y^3 ≤ xy(x + y)
Это неравенство является классическим и называется неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для трех положительных чисел x, y и z: (x+y+z)/3 ≥ ∛(xyz). При подстановке z=(x+y)/2 получим нужное нам неравенство.
Таким образом, мы доказали, что √(x^2/y) + √(y^2 / x) ≥ √x + √y, что и требовалось доказать.
Пошаговое объяснение: