Доведіть нерівність
1) 16x² - 8xy +3y² ≥0;
2) m²n² + m² + 4n² +9 ≥10mn
3) 9c² + d² + 4 ≥ 3cd-6c-2d.
Ответы
1) 16x² - 8xy + 3y² ≥0
Виділемо у лівій частині нерівності повні квадрати:
(16x² - 8xy + y²) + 2y² ≥ 0
(4х - у)² + 2y² ≥ 0
нерівність вірна, оскільки сума квадратів будь-якої величини ≥0, тому вихідна нерівність 16x² - 8xy + 3y² ≥0 вірна, що і треба було довести.
2) m²n² + m² + 4n² + 9 ≥ 10mn
m²n² + m² + 4n² + 9 - 10mn ≥ 0
(m²n² + 9) + (m² + 4n²) - 6mn - 4mn ≥ 0
(m²n² - 6mn + 9) + (m² - 4mn + 4n²) ≥ 0
(mn - 3)² + (m - 2n)² ≥ 0
нерівність вірна, оскільки сума квадратів будь-якої величини ≥0, тому вихідна нерівність m²n² + m² + 4n² + 9 ≥ 10mn вірна, що і треба було довести.
3) 9c² + d² + 4 ≥ 3cd-6c-2d
9c² + d² + 4 - 3cd + 6c + 2d ≥ 0
9c² + d² + 4 - 3cd + 6c + 2d ≥ 0 ║· 4
36c² + 4d² + 16 - 12cd + 24c + 8d ≥ 0
36c² + d² + 3d² + 16 - 12cd + 24c + 8d ≥ 0
(36c² - 12cd + d²) + 3d² + 16 + 24c + 8d ≥ 0
(6c - d)² + 3d² + 16 + 24c + 8d ≥ 0
(6c - d)² + 3d² + (12 + 4) + 24c + (12d - 4d) ≥ 0
(6c - d)² + (3d² + 12d + 12) + (24c - 4d) + 4 ≥ 0
(6c - d)² + (24c - 4d) + 4 + 3(d² + 4d + 4) ≥ 0
(6c - d)² + 4(6c - d) + 4 + 3(d + 2)² ≥ 0
((6c - d)² + 4(6c - d) + 4) + 3(d + 2)² ≥ 0
(6c - d + 2)² + 3(d + 2)² ≥ 0
нерівність вірна, оскільки сума квадратів будь-якої величини ≥0, тому вихідна нерівність 9c² + d² + 4 ≥ 3cd-6c-2d вірна, що і треба було довести.