Помогите пожалуйста, ничего не понимаю
Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями
1) y=1/2x+3; x=0; x=2; y=0
2) y^2 = 2x; x^2=2y
Ответы
y=1/2x+3; x=0; x=2; y=0
Нам даны 4 линии, которые ограничивают фигуру:
y=1/2x+3, которая является наклонной прямой, пересекающей ось y в точке (0,3) и ось x в точке (6,0);
x=0, что является вертикальной прямой, проходящей через начало координат (0,0);
x=2, также являющейся вертикальной прямой, пересекающей ось x в точке (2,0);
y=0, которая является горизонтальной прямой, проходящей через ось x.
Чтобы вычислить площадь фигуры, мы можем разбить ее на две части: треугольник и трапецию. Треугольник имеет основание 2 и высоту 3, поэтому его площадь равна (1/2) * 2 * 3 = 3. Трапеция имеет основания 3 и 1 (расстояние между прямыми y=1/2x+3 и y=0), и высоту 2 (расстояние между прямыми x=0 и x=2). Площадь трапеции равна (1/2) * (3 + 1) * 2 = 4. Итак, общая площадь фигуры равна 3 + 4 = 7.
y^2 = 2x; x^2=2y
Здесь нам даны две кривые, которые также ограничивают фигуру. Уравнение y^2 = 2x описывает параболу, которая открывается вправо и проходит через точку (0,0). Уравнение x^2 = 2y также описывает параболу, но она открывается вверх и проходит через точку (0,0).
Чтобы вычислить площадь фигуры, мы можем воспользоваться методом разбиения на вертикальные полосы. Для каждого значения x между 0 и 2 мы можем найти соответствующие значения y на обеих кривых, и затем найти расстояние между этими значениями y. Поскольку мы рассматриваем вертикальные полосы, ширина каждой полосы будет равна dx = 1, и площадь каждой полосы будет равна ширини * высота.
Итак, мы можем записать интеграл для вычисления площади фигуры:
S = ∫[0,2] (y2 - x2/2) dx
Здесь y2 - x2/2 - это высота вертикальной полосы в точке x, которую мы находим, вычитая y-координату на параболе y^2 = 2x из x-координаты на параболе x^2 = 2y.
Вычисляя интеграл, получаем:
S = ∫[0,2] (y2 - x2/2) dx = ∫[0,2] (2x - x2/2) dx = [x2 - x3/6] [0,2] = 4/3
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y^2 = 2x и x^2 = 2y, равна 4/3.