Question

Даю 65 баллов!
Решите неравенства на фото

Answer 1

Ответ:

1)  Иррациональное неравенство .

$\bf \sqrt{2x-20} +\sqrt{x+15}\geq 5\ \ ,\ \ \ \ ODZ:\ x\geq 10\ .$  

Обе части неравенства неотрицательны, можем возводить неравенство в квадрат .    

$\bf 2x-20+2\cdot \sqrt{2(x-10)(x+15)}+x+15\geq 25\\\\2\cdot \sqrt{2(x-10)(x+15)}\geq 25-2x-x+20-15\\\\2\cdot \sqrt{2(x^2+5x-150)}\geq 30-3x\\\\2\cdot \sqrt2\cdot\sqrt{x^2+5x-150}\geq 30-3x$  

Полученное неравенство эквивалентно совокупности двух систем .

$\bf a)\ \left\{\begin{array}{l}\bf 30-3x\geq 0\ ,\\\bf 8\cdot (x^2+5x-150)\geq (30-3x)^2\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}\bf 30\geq 3x\ ,\\\bf 8\cdot (x^2+5x-150)\geq 900-180x+9x^2\end{array}\right$  

$\left\{\begin{array}{l}\bf x\leq 10\ ,\\\bf x^2-220x+2100\leq 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf x\leq 10\ ,\\\bf (x-210)(x-10)\leq 0\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}\bf x\leq 10\ ,\\\bf x\in [\ 10\, ;\, 210\ ]\end{array}\right\ \ \ \bf \Rightarrow \ \ x=10$    

$\bf b)\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf 30-3x < 0\ ,\\\bf x^2+5x-150\geq 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf 30 < 3x\ ,\\\bf (x-10)(x+15)\geq 0\end{array}\right\\\\\\ \left\{\begin{array}{l}\bf x > 10\ ,\\\bf x\in (-\infty ;-15\, ]\cup [\ 10\, ;+\infty \, )\end{array}\right\ \ \Rightarrow \ \ \ \bf x\in (\ 10\ ;+\infty \, )$  

c)  Теперь найдём объединение  решений систем а) и б) . И это множество будет решением неравенства .

 Ответ:   $\boldsymbol{x\in [\ 10\ ;+\infty \, )}$  .

$\bf 2)\ \ \dfrac{x-\sqrt{x}-2}{x-\sqrt{x}-6} > 0\ \ ,\ \ \ ODZ:\ \left\{\begin{array}{l}\bf x\geq 0\\\bf x-\sqrt{x}-6\ne 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf x\geq 0\\\bf x\ne 9\end{array}\right$      

Найдём корни числителя и знаменателя по теореме Виета ,

учитывая, что  $\bf x=(\sqrt{x})^2$  .  Введём замену   $\bf t=\sqrt{x}\geq 0$  .

$\bf x-\sqrt{x}-2=0\ \ ,\ \ t^2-t-2=0\ \ ,\ \ t_1=-1\ ,\ t_2=2\\\\x-\sqrt{x}-6=0\ \ ,\ \ t^2-t-6=0\ \ ,\ \ t_1=-2\ ,\ t_2=3$    

 В ОДЗ можно записать, что из неравенства  $\bf x-\sqrt{x}-6\ne 0$  следует ,

что  $\bf \sqrt{x}\ne -2\ ,\ \sqrt{x}\ne 3\ \ \Rightarrow \ \ x\ne 9$  .

Неравенство через переменную  t  перепишем в виде

$\bf \dfrac{(t+1)(t-2)}{(t+2)(t-3)} > 0$  

Решаем неравенство методом интервалов .

Вычислим знаки функции от переменной  t  на промежутках , учитывая,  что  $\bf t\geq 0$ :

$\bf \Big[\, 0\, \Big]+++(2)---(3)+++\ > t$  

Запишем решение  $\bf t\in [\ 0\ ;\ 2\ )\cup (\ 3\ ;+\infty \, )$    

Перейдём к старой переменной :   $\bf \sqrt{x}\in [\ 0\ ;\ 2\ )\cup (\ 3\ ;+\infty \, )\ \ \Rightarrow \ \ \left[\begin{array}{l}\bf 0\leq \sqrt{x} < 2\\\bf \sqrt{x} > 3\end{array}\right\ \ ,\ \ \left[\begin{array}{l}\bf 0\leq x < 4\\\bf x > 9\end{array}\right\ \ \Rightarrow$  

$\bf x\in [\ 0\ ;\ 4\ )\cup(\ 9\ ;+\infty \, )$

Это решение согласуется с  ОДЗ  , получим ответ.  

Ответ:   $\bf x\in [\ 0\ ;\ 4\ )\cup(\ 9\ ;+\infty \, )$  .