Question

постройте Две окружности расстояния между центрами которых равно разности двух радиусов постройте их радиусы​

Answer 1

Ответ:

Пусть центры окружностей имеют координаты $(0,0)$ и $(d,0)$, где $d$ - расстояние между центрами окружностей.

Тогда уравнения окружностей имеют вид:

$$(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = r_1^2$$

$$(x - d)^2 + (y - 0)^2 = r_2^2$$

Разность радиусов: $r_2 - r_1$

Поэтому, если $r_2 - r_1 = d$, то получаем:

$$r_2 = d + r_1$$

Подставляем в уравнение второй окружности:

$$(x - d)^2 + y^2 = (d + r_1)^2$$

$$x^2 - 2dx + d^2 + y^2 = d^2 + 2dr_1 + r_1^2$$

$$x^2 + y^2 - 2dx = 2dr_1 + r_1^2$$

Аналогично для первой окружности:

$$x^2 + y^2 = r_1^2$$

Вычитаем второе из первого:

$$-2dx = r_1^2 - 2dr_1 - d^2$$

$$2dx = d^2 - r_1^2 + 2dr_1$$

$$x = \frac{d^2 - r_1^2 + 2dr_1}{2d}$$

Подставляем в уравнение первой окружности:

$$(\frac{d^2 - r_1^2 + 2dr_1}{2d})^2 + y^2 = r_1^2$$

$$\frac{d^4 - 2d^2r_1^2 + r_1^4 + 4d^2r_1^2 - 4dr_1^3 + 4d^3r_1 - 4d^2r_1^2}{4d^2} + y^2 = r_1^2$$

$$\frac{d^4 + 2d^2r_1^2 + r_1^4 - 4dr_1^3 + 4d^3r_1}{4d^2} + y^2 = r_1^2$$

$$\frac{(d^2 - 2dr_1 + r_1^2)^2 + 4d^2r_1^2 - 4dr_1^3}{4d^2} + y^2 = r_1^2$$

$$\frac{(d - r_1)^2}{4d^2} (d + 3r_1) + y^2 = r_1^2$$

$$\frac{(d - r_1)^2}{4d^2} (d + 3r_1) = r_1^2 - y^2$$

$$\frac{(d - r_1)^2}{4d^2} (d + 3r_1) = (r_1 - y)(r_1 + y)$$

Заметим, что левая сторона выражения не зависит от $y$, поэтому мы можем выбрать любое значение для $y$ (например, $y = 0$) и решить уравнение относительно $r_1$.

Если $y = 0$, то получаем:

$$\frac{(d - r_1)^2}{4d^2} (d + 3r_1) = r_1^2$$

$$(d - r_1)^2 (d + 3r_1) = 4d^2r_1^2$$

$$d^3 - 2d^2r_1 - 2dr_1^2 + r_1^3 = 0$$

$$(d - r_1)(d^2 + 2dr_1 + r_1^2) = 0$$

$$r_1 = \frac{d}{3}$$

Таким образом, радиусы окружностей равны $\frac{d}{3}$ и $\frac{4d}{3}$.