Question

Обчислити об'єми тіл, утворених обертанням навколо осі OY фігур, обмежених зазначеними лініями:
$y=\sqrt{x-1} ; y=0; x=0,85; y=1$

Answer 1

Ответ:

Спочатку необхідно знайти точки перетину графіків:

y = x - 1

y = 0

x - 1 = 0

x = 1

Тому перша крива проходить через точки (0, -1) і (1, 0).

y = 1

x = 0.85

Тому друга крива проходить через точки (0.85, 0) і (0.85, 1).

Знайдемо об'єм тіла, утвореного обертанням першої кривої навколо вісі OY за допомогою інтегралу обертання:

V = ∫₀¹π(1 - y²)dx

Де радіус обертання r = 1 - y.

V = ∫₀¹π(1 - y²)dx = π∫₀¹(1 - y²)dx = π[x - 1/3y³]₀¹ = π[1 - 1/3(-1)³ - (0 - 1/3*0³)] = 4π/3

Знайдемо об'єм тіла, утвореного обертанням другої кривої навколо вісі OY за допомогою інтегралу обертання:

V = ∫₀⁰.⁸⁵πx²dy

Де радіус обертання r = x.

V = ∫₀¹⁻¹πx²dy = π∫₀¹⁻¹x²sqrt(x+1)dx

Зробимо заміну змінної x + 1 = t^2.

x = t^2 - 1; dx = 2t dt

Тоді:

V = π∫₀^((√2)-1) (t²-1)² * 2t * dt

= 2π∫₀^((√2)-1) t^5 - 2t³ + t dt

= 2π[1/6 * t^6 - 1/2 * t^4 + 1/2 * t²]₀^((√2)-1)

= 2π(1/6 * (√2-1)^6 - 1/2 * (√2-1)^4 + 1/2 * (√2-1)^2)

≈ 0.192π

Отже, об'єми тіл, утворених обертанням навколо осі OY фігур, обмежених даними кривими дорівнюють:

4π/3 та 0.192π одиниць об'єму відповідно.