Ответы
Ответ:
Спочатку необхідно знайти точки перетину графіків:
y = x - 1
y = 0
x - 1 = 0
x = 1
Тому перша крива проходить через точки (0, -1) і (1, 0).
y = 1
x = 0.85
Тому друга крива проходить через точки (0.85, 0) і (0.85, 1).
Знайдемо об'єм тіла, утвореного обертанням першої кривої навколо вісі OY за допомогою інтегралу обертання:
V = ∫₀¹π(1 - y²)dx
Де радіус обертання r = 1 - y.
V = ∫₀¹π(1 - y²)dx = π∫₀¹(1 - y²)dx = π[x - 1/3y³]₀¹ = π[1 - 1/3(-1)³ - (0 - 1/3*0³)] = 4π/3
Знайдемо об'єм тіла, утвореного обертанням другої кривої навколо вісі OY за допомогою інтегралу обертання:
V = ∫₀⁰.⁸⁵πx²dy
Де радіус обертання r = x.
V = ∫₀¹⁻¹πx²dy = π∫₀¹⁻¹x²sqrt(x+1)dx
Зробимо заміну змінної x + 1 = t^2.
x = t^2 - 1; dx = 2t dt
Тоді:
V = π∫₀^((√2)-1) (t²-1)² * 2t * dt
= 2π∫₀^((√2)-1) t^5 - 2t³ + t dt
= 2π[1/6 * t^6 - 1/2 * t^4 + 1/2 * t²]₀^((√2)-1)
= 2π(1/6 * (√2-1)^6 - 1/2 * (√2-1)^4 + 1/2 * (√2-1)^2)
≈ 0.192π
Отже, об'єми тіл, утворених обертанням навколо осі OY фігур, обмежених даними кривими дорівнюють:
4π/3 та 0.192π одиниць об'єму відповідно.