Question

Помогите решить алгебру.
Нужно вычислить интеграл используя метод подстановки. ​

Answer 1

Ответ:

Вычислить интеграл от заданной функции с помощью замены переменных . Заменяем линейную функцию новой переменной  t .

$\bf 1)\ \ f(x)=\dfrac{3}{(4-15x)^4}$  

$\bf \displaystyle \int f(x)\, dx=\int \dfrac{3}{(4-15x)^4}\, dx=\\\\\\=\Big[\ t=4-15x\ ,\ dt=-15\, dx\ ,\ dx=-\dfrac{dt}{15}\ \Big]=\\\\\\=-\frac{1}{15}\int \frac{3\, dt}{t^4}=-\frac{1}{5}\int t^{-4}\, dt=-\frac{1}{5}\cdot \frac{t^{-3}}{-3}+C=\frac{1}{15\, (4-15x)^3}+C$  

$\bf \displaystyle 2)\ \ f(x)=\frac{4}{(3x-1)^2}\\\\\\\int f(x)\, dx=\int \dfrac{4}{(3x-1)^2}\, dx=\\\\\\=\Big[\ t=3x-1\ ,\ dt=3\, dx\ ,\ dx=\dfrac{dt}{3}\ \Big]=\\\\\\=\frac{1}{3}\int \frac{4\, dt}{t^2}=\frac{4}{3}\int t^{-2}\, dt=\frac{4}{3}\cdot \frac{t^{-1}}{-1}+C=-\frac{4}{3\, (3x-1)}+C$