Question

Доказать тождество:
$2(sin^6x+cos^6x)+1=3(sin^4x+cos^4x)$
(надо расписать ТОЛЬКО ОДНУ любую сторону, чтоб она была равной другой)

Answer 1

Ответ:

Тождество доказано.

Объяснение:

Доказать тождество:

$\displaystyle \bf 2(sin^6x+cos^6x)+1=3(sin^4x+cos^4x)$

• Надо знать основное тригонометрическое тождество:

            sin²α + cos²α = 1

• Также нам понадобится формула суммы кубов двух чисел:

      a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

Упростим левую часть тождества.

Выражение в скобке представим как сумму кубов:

$\displaystyle 2(sin^6x+cos^6x)+1=2((sin^2x)^3+(cos^2x)^3+1=\\\\=2(\underset{1}{\underbrace {sin^2x+cos^2x}})(sin^4x-sin^2x\;cos^2x+cos^4x)+\underset{sin^2x+cos^2x}{\underbrace {1}}=\\\\=2sin^4x-2sin^2x\;cos^2x+2cos^4x+sin^2x+cos^2x=\\\\=2sin^4x+2cos^4x-sin^2x\;cos^2x-sin^2x\;cos^2x+sin^2x+cos^2x=$

___________________________________________________

Сгруппируем последние четыре слагаемых, вынесем общий множитель.

____________________________________________________

$\displaystyle =2sin^4x+2cos^4x+(sin^2x-sin^2x\;cos^2x)+(cos^2x-sin^2x\;cos^2x)=$

$\displaystyle =2sin^4x+2cos^4x+sin^2x({\underset{sin^2x}{\underbrace{1-cos^2x}} )+cos^2x({\underset{cos^2x}{\underbrace{1-sin^2x}})=$

$\displaystyle =2sin^4x+2cos^4x+sin^4x+cos^4x=3sin^4x+3cos^4x=\\\\=\bf 3(sin^4x+cos^4x)$

Тождество доказано.