Ответы
Пошаговое объяснение:
Рассмотрим треугольник ABC с прямым углом A
Пусть P,K и М — точки касания, О — центр вписанной окружности(см. рисунок)
Из условия известно, что BK/CK=3/2
Тогда пусть СК=2x, BK=3x, следовательно, BC=5x
Кроме того, мы также можем сказать, что BK=BP=3x, поскольку это отрезки двух касательных к одной окружности, проведённых из одной точки. Аналогично CK=CM=2x
Рассмотрим четырёхугольник АМОР:
OM⊥АС, ОР⊥АВ(угол между касательной и радиусом, проведённым к точке касания равняется 90°)
Итак, АP||ОM(сумма односторонних углов равна 180°). Аналогично OP||AM Таким образом, AMOP — квадрат, значит, АР=АМ=r (радиус вписанной окружности)
Теперь приступим к нахождению гипотенузы:
С одной стороны, площадь треугольника АВС: S=АВ•АС/2
С другой стороны: S=(AB+BC+AC)•r/2
Зная, что АВ=АВ+РВ=r+3x, AC=AM+MC=r+2x, подставим соответствующие значения:
S=(3x+r+2x+r+5x)•r/2=(5x+r)•r=5xr+r²=216см²
S=(r+3x)(r+2x)/2=(6x²+(5xr+r²))/2=(6x²+216)/2=216см²
3x²+108=216
3x²=108
x²=36
x=±6 (x=-6 — корень посторонний, т.к. сторона не может иметь отрицательное значение)
Теперь, зная, что BC=5x, мы можем сказать ответ:
5x=5•6=30
Ответ: D
