Question

решите дифференциальные уравнения:
1) (1-y)dx=(1-x)dy
2) y"-81y=0

Answer 1

Ответ:

1) Общее решение дифференциального уравнения (1-y)dx=(1-x)dy:

y = 1 - C(1-x) или y = 1 + C(1-x)

где С - произвольная постоянная.

2) Общее решение дифференциального уравнения y"-81y=0:

y = c1e^(9x) + c2e^(-9x)

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Пошаговое объяснение:

1) Начнем с разделения переменных:

(1-y)dx=(1-x)dy

dx/(1-x) = dy/(1-y)

2) Затем проинтегрируем обе стороны:

∫ dx/(1-x) = ∫ dy/(1-y)

-ln|1-x| = -ln|1-y| + C

где С - произвольная постоянная интегрирования.

3) Решим уравнение относительно y:

-ln|1-x| + ln|1-y| = C

ln|1-y| = ln|1-x| + C'

где С' = -C.

4) Применяем экспоненту к обеим сторонам:

|1-y| = e^(ln|1-x|+C')

|1-y| = Ce^ln|1-x|

|1-y| = C(1-x)

5) Разбиваем решение на два случая:

1-y = C(1-x), где С>0

y = 1 - C(1-x)

и

y-1 = -C(1-x), где С<0

y = 1 + C(1-x)

6) Общее решение уравнения:

y = 1 - C(1-x) или y = 1 + C(1-x)

где С - произвольная постоянная.

2) Характеристическое уравнение для уравнения y"-81y=0 имеет вид:

r^2 - 81 = 0

(r - 9)(r + 9) = 0

r1 = 9, r2 = -9

3) Общее решение уравнения имеет вид:

y = c1e^(9x) + c2e^(-9x)

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

удачи)