Ответы
Ответ:
1) Общее решение дифференциального уравнения (1-y)dx=(1-x)dy:
y = 1 - C(1-x) или y = 1 + C(1-x)
где С - произвольная постоянная.
2) Общее решение дифференциального уравнения y"-81y=0:
y = c1e^(9x) + c2e^(-9x)
где c1 и c2 - произвольные постоянные.
Пошаговое объяснение:
1) Начнем с разделения переменных:
(1-y)dx=(1-x)dy
dx/(1-x) = dy/(1-y)
2) Затем проинтегрируем обе стороны:
∫ dx/(1-x) = ∫ dy/(1-y)
-ln|1-x| = -ln|1-y| + C
где С - произвольная постоянная интегрирования.
3) Решим уравнение относительно y:
-ln|1-x| + ln|1-y| = C
ln|1-y| = ln|1-x| + C'
где С' = -C.
4) Применяем экспоненту к обеим сторонам:
|1-y| = e^(ln|1-x|+C')
|1-y| = Ce^ln|1-x|
|1-y| = C(1-x)
5) Разбиваем решение на два случая:
1-y = C(1-x), где С>0
y = 1 - C(1-x)
и
y-1 = -C(1-x), где С<0
y = 1 + C(1-x)
6) Общее решение уравнения:
y = 1 - C(1-x) или y = 1 + C(1-x)
где С - произвольная постоянная.
2) Характеристическое уравнение для уравнения y"-81y=0 имеет вид:
r^2 - 81 = 0
(r - 9)(r + 9) = 0
r1 = 9, r2 = -9
3) Общее решение уравнения имеет вид:
y = c1e^(9x) + c2e^(-9x)
где c1 и c2 - произвольные постоянные.
удачи)