Із 100 студентів лише німецьку мову вивчають 18; німецьку, але не англійську — 23, німецьку і французьку — 8; німецьку — 26, французьку — 48, англійську і французьку — 8; ніякої мови не вивчають — 24. Скільки студентів вивчають англійську мову? Скільки студентів вивчають англійську і німецьку мови, але не французьку? Скільки студентів вивчають французьку мову в тому і лише тому випадку, якщо вони не вивчають англійську?
Ответы
Ответ:
12
Объяснение:
Для розв’язання цієї задачі можна скористатися формулою включень-виключень, яка допомагає підрахувати кількість об’єктів, які належать принаймні одному з декількох множин.
Позначимо кількість студентів, які вивчають німецьку мову, як A, кількість студентів, які вивчають англійську мову, як B, кількість студентів, які вивчають французьку мову, як C, а кількість студентів, які вивчають якусь комбінацію цих мов, як ABC. Тоді за наданими даними маємо:
A = 26
B + ABC = 18
A - ABC = 23
A ∩ C = 8
A ∪ C = 48
B ∩ C = 8
(A ∪ B ∪ C)’ = 24
Щоб знайти кількість студентів, які вивчають англійську мову, ми можемо використати наступну послідовність рівнянь:
(A ∪ B ∪ C)’ = 24 (всього 100 студентів)
A + B + C - AB - AC - BC + ABC = 76 (за формулою включень-виключень)
26 + B + 48 - AB - 8 - BC + 8 = 76 (замінюємо значення A, A ∪ C, та B ∩ C)
B - AB - BC + ABC = 2 (спрощуємо рівняння)
Ми знаємо, що B + ABC = 18, отже підставляємо це значення в останнє рівняння:
B - AB - BC + 18 = 2
AB + BC = 16
Тепер можна знайти кількість студентів, які вивчають англійську і німецьку мови, але не французьку:
AB - ABC = AB - (B - AB - BC + 18) = 2AB - BC - 18 = 2(23) - 16 - 18 = 12
Отже, 12 студентів вивчають англійську і німецьку мови, але не французьку.
Щоб знайти кількість