2. Две окружности касаются друг друга. Радиус большей окружности равен 7,5 см, а радиус малой окружности меньше на 4 см. Найдите расстояние мецентра
Ответы
Между касательными к окружностям, проходящими через точки касания окружностей, можно провести прямую, которая будет проходить через центры окружностей и точку касания. Обозначим эту точку между центрами окружностей за M.
Так как радиус малой окружности меньше на 4 см, то его длина равна 7,5 - 4 = 3,5 см. Также, обозначим расстояние от M до центра малой окружности за x. Тогда расстояние от M до центра большей окружности будет равно x + 4.
Создадим два прямоугольных треугольника, один из которых будет состоять из радиуса малой окружности, расстояния от M до центра малой окружности и расстояния от M до центра большей окружности. Второй треугольник будет состоять из радиуса большей окружности, расстояния от M до центра малой окружности и расстояния от M до центра большей окружности. Обозначим угол между линиями, соединяющими M с центрами окружностей, за α.
Тогда по теореме Пифагора для первого треугольника получим:
(3,5)² + x² = (7,5 - x - 4)²
12,25 + x² = (3,5 - x)²
Для второго треугольника:
(7,5 - x - 4)² + x² = 7,5²
Разрешим второе уравнение относительно x:
x² + (11,5 - x)² = 56,25
x² + 132,25 - 23x + x² = 56,25
2x² - 23x + 76 = 0
D = 23² - 4*2*76 = 225
x = (23 + √225)/4 = 6
Теперь можем найти расстояние от M до центра большей окружности:
x + 4 = 6 + 4 = 10
Ответ: расстояние между центрами окружностей равно 10 см.