Question

$arc \cos( \cos(2arc \tan( \sqrt{2} - 1 ) ) )$
Помогите решить эту нечисть ​

Answer 1

Ответ:

Вычислить значение угла    $\bf arccos\Big(cos(2\, arctg(\sqrt2-1))\Big)$   .              

Обозначим через   $\boldsymbol{\beta}$   угол   $\boldsymbol{\beta =arctg(\sqrt2-1)}$   .

По определению функции арктангенс отсюда следует :  

$\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{-\frac{\pi }{2} < \beta < \frac{\pi }{2}}\ ,\\\boldsymbol{tg\beta =\sqrt2-1\ .}\end{array}\right\ \ (*)$        

Обозначим через  $\bf \alpha$  угол   $\bf \alpha =arccos\Big(cos(2arctg(\sqrt2-1))\Big)$  .

Тогда условие можно записать в виде   $\boldsymbol{\alpha =arccos\Big(cos2\beta \Big)}$  .

По определению функции арккосинус отсюда следует :  

$\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{0\leq \alpha \leq \pi }\ ,\\\boldsymbol{cos\alpha =cos(2arctg(\sqrt2-1))=cos2\beta \ .}\end{array}\right\ \ (**)$          

Найдём сначала  $\boldsymbol{cos\alpha }$  , учитывая свойства  $(*)$  и  $(**)$

$\boldsymbol{cos\alpha =cos2\beta =\dfrac{cos2\beta }{1}=\dfrac{cos^2\beta -sin^2\beta }{sin^2\beta +cos^2\beta }=\dfrac{cos^2\beta \, (1-tg^2\beta )}{cos^2\beta \, (tg^2\beta +1)}=}\\\\\\\boldsymbol{=\dfrac{1-tg^2\beta }{1+tg^2\beta }=\dfrac{1-(\sqrt2-1)^2}{1+(\sqrt2-1)^2}=\dfrac{1-(2-2\sqrt2+1)}{1+2-2\sqrt2+1}=\dfrac{-2+2\sqrt2}{4-2\sqrt2}=}$

$\boldsymbol{=\dfrac{2\, (\sqrt2-1)}{2\, (2-\sqrt2)}=\dfrac{(\sqrt2-1)(2+\sqrt2)}{(2-\sqrt2)(2+\sqrt2)}=\dfrac{2\sqrt2+2-2-\sqrt2}{4-2}=\dfrac{\sqrt2}{2}}$  

Теперь имеем , учитывая   $(**)$ :

$\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{0\leq \alpha \leq \pi }\\\boldsymbol{cosa=\dfrac{\sqrt2}{2}}\end{array}\right\ \ \ \boldsymbol{\Rightarrow \ \ \ \alpha =\dfrac{\pi }{4}}$  

Ответ:      $\boldsymbol{arccos\Big(cos(2\, arctg(\sqrt2-1))\Big)=\dfrac{\pi }{4}}$   .