Question

Найдите все значения а, при которых равенство
(3a-1)x²-2axy+(3a-1)y²+(x+1)|y|-(y+1)|x|=0
имеет хотя бы одно нулевое решение, и для любого его решения x = α, y = β верно, что и x = β, y = α - тоже решение

как решать такой параметр?
=========
Знайдіть усі значення а, за яких рівність

(3a-1)x²-2axy+(3a-1)y²+(x+1)|y|-(y+1)|x|=0

має хоча б один нульовий розв'язок, і для будь-якого її розв'язку x = α, y = β вірно, що і x = β, y = α - теж розв'язок


як розв'язувати такий параметр?

Answer 1

Ответ:

Розглянемо дискримінант рівняння відносно змінної x:

D = 4a²y²-4(3a-1)(3a-1)y²+4(3a-1)(y+1)|y|-(y+1)|y|

D = -4(y+1)|y|(3a-1)²+4(3a-1)(y+1)|y|

D = -4(y+1)|y|(3a-1)(3a-1-|y|)

Якщо D≥0 при довільному y (включаючи y=0), то маємо хоча б один нульовий розв'язок. Для цього необхідно:

- (3a-1)(3a-1-|y|) ≥ 0 при довільному y

- 3a-1 ≠ 0 (щоб не ділити на 0 при y=0)

Розглянемо три випадки:

1) 3a-1 > 0. Тоді (3a-1-|y|) ≥ 0 при всіх y, тобто параметр a має задовольняти нерівність a≥1/3.

2) 3a-1 < 0. Тоді (3a-1-|y|) ≤ 0 при всіх y, тобто a ≤ 1/3.

3) 3a-1 = 0. В такому випадку D=0 для довільного y, і рівняння має хоча б один нульовий розв'язок. Також з умови x=α, y=β, а отже, також є розв'язком x=β, y=α.

Отже, відповідь: a≥1/3 або a=1/3.

Объяснение:

Рассмотрим дискриминант уравнения относительно переменной x:

D = 4a²y²-4(3a-1)(3a-1)y²+4(3a-1)(y+1)|y|-(y+1)|y|

D = -4(y+1)|y|(3a-1)²+4(3a-1)(y+1)|y|

D = -4(y+1)|y|(3a-1)(3a-1-|y|)

Если D≥0 при любом y (включая y=0), то у нас есть хотя бы одно нулевое решение. Для этого необходимо:

- (3a-1)(3a-1-|y|) ≥ 0 при любом y

- 3a-1 ≠ 0 (чтобы не делить на 0 при y=0)

Рассмотрим три случая:

1) 3a-1 > 0. Тогда (3a-1-|y|) ≥ 0 при всех y, то есть параметр a должен удовлетворять неравенству a≥1/3.

2) 3a-1 < 0. Тогда (3a-1-|y|) ≤ 0 при всех y, то есть a ≤ 1/3.

3) 3a-1 = 0. В таком случае D=0 для любого y, и уравнение имеет хотя бы одно нулевое решение. Также из условия x=α, y=β, следовательно, также существует решение x=β, y=α.

Таким образом, ответ: a≥1/3 или a=1/3.