Площини рівностороннього трикутника ANB і квадрата ABCD перпендикулярні. Знайдіть відстань між точкою N і прямою DC, якщо периметр квадрата дорівнює 8.
Ответы
Відповідь:Оскільки АВВ1А1 квадрат, то АА1 = АВ і ВВ1 = А1В.
Також, оскільки трикутник ABC - рівносторонній, то всі його сторони мають однакову довжину, що дорівнює 2р.
Розглянемо трикутник АВА1. Оскільки АВ = АА1, то сторона трикутника AВА1 також дорівнює 2р. Звідси випливає, що трикутник АВА1 - рівнобедрений і має кут при вершині А, рівний 60 градусів. Аналогічно, трикутник ВBВ1 також є рівнобедреним і має кут при вершині В, рівний 60 градусів.
За теоремою Піфагора в прямокутних трикутниках АА1С та ВB1С, де С - центр рівностороннього трикутника ABC, можна знайти довжину А1С та В1С. Оскільки АА1 = 2р, то СА1 = р. За теоремою Піфагора, СС1 = √3р. Оскільки ВВ1 = А1В, то СB1 = р. Знову за теоремою Піфагора, СВ1 = √3р.
Таким чином, ми можемо знайти довжини сторін трикутника A1B1C1:
A1C1 = А1С + СC1 = 2р + √3р = (2 + √3)р
B1C1 = В1С + СB1 = 2р + √3р = (2 + √3)р
А1В1 = 2р
Тому периметр трикутника A1B1C1 дорівнює:
P = A1C1 + B1C1 + А1В1 = (2 + √3)р + (2 + √3)р + 2р = (4 + 2√3)р
Площа трикутника A1B1C1 може бути знайдена за допомогою формули Герона:
s = P/2 = (2 + √3)р + (2 + √3)р + 2р = (4 + 2√3)р
S = √(s(s - A1C1)(s - B1C1)(s - А1В1)) = √(((4 + 2√3)р)/2 * ((2 + √3)р)/2
Пояснення: