Question

Трапеція вписана в коло, центр якого лежить на більшій основі, а радіус дорівнює 6 см. Знайдіть площу трапеції, якщо менша її основа дорівнює 4 см

Answer 1

Ответ:

Площа трапеції дорівнює 32√2 см²

Объяснение:

Трапеція вписана в коло, центр якого лежить на більшій основі, а радіус дорівнює 6 см. Знайдіть площу трапеції, якщо менша її основа дорівнює 4 см.

1) Нехай маємо трапецію ABCD, AD||BC, BC=4 см.

Навколо ABCD описане коло з центром у точці O, причому AO=DO=R=6 cм.

AD - діаметр кола, тому  AD=2·R=2*6= 12 см

Оскільки навколо трапеції описане коло, то дана трапеція рівнобока:  АВ=СD

2) З вершин B і C до основи AD проведемо висоти трапеції BH і CK, відповідно: BH⊥AD і CK⊥AD (очевидно, що BH=CK)

Оскільки BСKН - прямокутник, то НК=BС=4 (см)

3) Розглянемо прямокутні трикутники ABH і DСК.

У них:

• ∠BAH=∠CDК – як кути при основі AD у рівнобічній трапеції ABCD (за властивістю),

• AB = CD – як бічні сторони рівнобічній  трапеції .

Тому, за ознакою рівності прямокутних трикутників, трикутники ABH і DСК рівні (за гіпотенузою і гострим кутом), і, отже:

AH=KD=(12-4)/2= 4 см.

4) Розглянемо Δ AСD.  

AD - діаметр кола. Діаметр кола з будь-якої точки кола видно під прямим кутом, тому тому ∠АCD=90,

За метричними співвідношеннями в прямокутному трикутнику:

СК²=АК·КD=(АН+НК) · КD=(4+4) ·4= 4·2·4

СК=4√2 см

5) Знайдемо площу трапеції:

$S=\dfrac{BC+AD}{2}\cdot CK =\dfrac{4+12}{2} \cdot 4\sqrt{2} =\bf 32\sqrt{2}$  (см²)

Відповідь: 32√2 см²

#SPJ1