Question

Розв'яжіть рівняння:
$2 \sqrt{x {}^{2} - 3x + 11 } + x {}^{2} - 3x = 4$
​

Answer 1

$2 \sqrt{x^2 - 3x + 11 } + x^2-3x = 4$

$2 \sqrt{x^2 - 3x + 11 } + x^2-3x +11-11- 4=0$

$(x^2-3x +11)+2 \sqrt{x^2 - 3x + 11 }-15=0$

$\left( \sqrt{x^2-3x +11}\right)^2+2 \sqrt{x^2 - 3x + 11 } -15=0$

Замена: $\sqrt{x^2 - 3x + 11 } =y\geqslant 0$

$y^2 +2y-15=0$

По теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

$\begin{cases} y_1+y_2=-2 \\ y_1y_2=-15\end{cases}$

$\Rightarrow y_1=-5;\ y_2=3$

Заметим, что первый корень не удовлетворяет условию замены, так как квадратный корень может принимать лишь неотрицательные значения. Значит:

$y=3$

Обратная замена:

$\sqrt{x^2 - 3x + 11 } =3$

$x^2 - 3x + 11 =3^2$

$x^2 - 3x + 11 =9$

$x^2 - 3x + 2 =0$

Сумма коэффициентов уравнения равна 0, значит первый корень уравнения равен 1, а второй равен отношению свободного члена к старшему коэффициенту:

$x_1=1;\ x_2=2$

Ответ: 1; 2