Question

Площа ромба дорівнює 600 см², а довжина кола, вписаного в нього, дорівнює 24п. Обчислити меншу діагональ ромба.​

Answer 1

Ответ:

Меньшая диагональ ромба равна 30 см.

Объяснение:

Площадь ромба равна 600 см², а длина окружности, вписанной в него, равна 24π см. Вычислить меньшую диагональ ромба.​

Дано: ABCD - ромб;

Окр.О - вписана;

С = 24π см; S(ABCD) = 600 см².

Найти: BD.

Решение:

Проведем высоту ЕН через центр Окр.О.

• Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

⇒ ЕН - диаметр окр.О.

• Длина окружности равна:

           С = 2πR

24π = 2πR   ⇒   R = 12 см.

• Диаметр равен двум радиусам.

⇒ ЕН = 24 см.

• Площадь ромба равна:

               S = ah,

где а - сторона ромба, h - высота ромба.

⇒ S(ABCD) = AD · EH

600 = AD · 24   ⇒   AD = 600 : 24 = 25 (см)

Рассмотрим ΔAOD.

• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

⇒ ΔAOD - прямоугольный.

ОН = 12 см - высота.

• Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.

⇒ ОН² = АН · НD

Пусть HD = x см, тогда АН = (25 - х) см.

144 = (25 - х) · х

х² - 25х + 144 = 0

D = 625 - 576 = 49   ⇒   √D = 7

$\displaystyle x_1=\frac{25+7}{2}=16;\;\;\;\;\;x_2=\frac{25-7}{2} =9$

⇒ HD = 9 см;   АН = 25 - 9 = 16 (см)

Рассмотрим ΔНОD - прямоугольный.

• Теорема Пифагора:
• Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

OD² = HD² + OH² = 81 + 144 = 225   ⇒   OD = 15 см

BD = 2 · OD = 30 см

#SPJ1