Question

Разложить функцию
f(x)=
{-x, -pi<0<=0
{0, 0в ряд Фурье на интервале (-pi; pi)

Answer 1

Ответ:

f(x) = -2/π * ∑[n=1, ∞] (sin(nx)/n)

Пошаговое объяснение:Для разложения функции f(x) в ряд Фурье на интервале (-π; π), мы должны найти её коэффициенты Фурье a_n и b_n.

Формулы для коэффициентов Фурье на интервале (-π; π) имеют вид:

a_n = (1/π) ∫[π, -π] f(x) * cos(nx) dx,

b_n = (1/π) ∫[π, -π] f(x) * sin(nx) dx.

Для данной функции f(x) на интервале (-π; π) коэффициенты Фурье вычисляются следующим образом:

a_n = (1/π) ∫[-π, 0] (-x) * cos(nx) dx = (1/π) ∫[0, π] x * cos(nx) dx = 0,

(поскольку интеграл от нечётной функции на симметричном интервале равен нулю).

b_n = (1/π) ∫[-π, 0] (-x) * sin(nx) dx = (1/π) ∫[0, π] x * sin(nx) dx = -2/nπ,

(поскольку интеграл от sin(nx) на интервале [0, π] равен 2/nπ).

Таким образом, разложение функции f(x) в ряд Фурье на интервале (-π; π) имеет вид:

f(x) = -2/π * ∑[n=1, ∞] (sin(nx)/n)