Question

Помогите, пожалуйста, решить дифференциальное уравнение, даю 60 баллов ​

Answer 1

Ответ:

1. Общее решение $y= \dfrac{C_1}{\ln x}$

2. Частное решение  $y = e \cdot \log _x 3$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle y \cdot x^{y-1} ~ dx + x^y \ln x ~dy = 0 ~ | : x^y \\\\ \frac{y}{x} ~ dx + \ln x ~ dy = 0 ~ | : (y \cdot \ln x) \\\\\\ \frac{1}{x } \cdot \frac{1}{\ln x} ~dx + \frac{1}{y} ~ dy = 0 \\\\\\\ \int \frac{1}{y} ~ dy +\int \frac{1}{\ln x} ~d(\ln x ) = C \\\\\\ \ln |y | + \ln |\ln x| = C\\\\ \ln | y \cdot \ln x| = C \\\\ y \cdot \ln x = \pm e^C$

Запишем нашу константу как

$C_1 = \pm e^C$

Тогда мы получим общее решение

$y \cdot \ln x = C_1 \\\\ y= \dfrac{C_1}{\ln x}$

Найдем константу  пользуясь тем , что  y(e) = 3

$C_1 =y \cdot \ln x = e \cdot \ln 3$

Найдем частное решение

$y = e\cdot \dfrac{\ln 3}{\ln x} \\\\\\ y = e \cdot \log _x 3$