Question

Найдите сумму первых 20 членов арифметической прогрессии,если ихвестно,что а5 +а6 = 28;а8 +а9=58​

Answer 1

Ответ:

Сумма первых 20 членов арифметической прогрессии равна 780

Объяснение:

Найдите сумму первых 20 членов арифметической прогрессии, если известно, что а5 +а6 = 28;  а8 +а9=58.

РЕШЕНИЕ

• Сумма n членов арифметической прогрессии находят по формуле:

$\bf S_n = \dfrac{2a_1+(n-1)d}{2} *n$

a₁ — первый член прогрессии, d — разность прогрессии, n — количество членов в данной прогрессии

Согласно условию составляем систему:

$\begin{cases}a_5+a_6=28 \\a_8+a_9=58\end{cases}$

Выражаем члены прогрессии через а₁,  используя формулу:

аₙ = a₁ + d(n-1)

a₅ = a₁ + 4d

a₆ = a₁ + 5d

a₈ = а₁ + 7d

a₉ = a₁ + 8d

Подставляем найденные значения в систему:

$\begin{cases}a_1+4d+a_1+5d=28 \\a_1+7d+a_1+8d=58\end{cases}$

$\begin{cases}2a_1+9d=28 \\2a_1+15d=58\end{cases}$

Для нахождения разницы прогрессии d от второго уравнения вычитаем первое, получим:

6d=30

d=5

Подставляем найденное значение d в первое уравнение, находим a₁:

2a₁ + 9·5 = 28

2a₁ = 28 - 45

2a₁ = -17

a₁ = - 8,5

Находим сумму первых 20 членов арифметической прогрессии:

$S_{20} = \dfrac{2*(-8,5)+(20-1)*5}{2} *20=$

= (-17+95) · 10 = 780

Ответ: 780

#SPJ1

Answer 2

$\displaystyle\bf a_{n} = a_{1} + (n - 1)d \\ \displaystyle\bf\\\left \{ {{a_{5} + a_{6} = 28} \atop {a_{8} + a_{9} = 58 }} \right. \\ \displaystyle\bf\\\left \{ {{a_{1} +4d + a_{1} + 5d = 28} \atop {a_{1} +7 d + a_{1} + 8d = 58}} \right. \\ \displaystyle\bf\\\left \{ {{2a_{1} + 9d = 28 \: \: | \times ( - 1)} \atop {2a_{1} + 15d = 58 }} \right. \\ \displaystyle\bf\\ + \left \{ {{ - 2a_{1} - 9d = - 28} \atop { 2a_{1} + 15d = 58}} \right. \\ \\ 15d - 9d = 58 - 28 \\ 6d = 30 \\ d = 30 \div 6 \\ d = 5 \\ \\ 2a_{1} + 9 \times 5 = 28 \\ 2a_{1} + 45 = 28\\ 2a_{1} = 28 - 45\\ 2a_{1} = - 17\\a _{1} = - 17 \div 2 \\ a_{1} = - 8.5 \\ \\ a_{20} = a_{1} + 19d = - 8.5 + 19 \times 5 = \\ = - 8.5+ 95= 86.5 \\ \\ S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} n \\ S_{20} = \frac{a_{1} + a_{20}}{2} \times 20= 10(a_{1} + a_{20}) = \\ = 10 \times ( - 8.5 + 86.5) = 10 \times 78 = 780$