Ответы
Для нахождения экстремума функции Z = x^2 + y^2 + xy - 4x - 5y, необходимо взять частные производные функции по переменным x и y и приравнять их к нулю. Затем найденные значения x и y подставить обратно в исходную функцию и найти соответствующее значение Z.
Давайте начнем с нахождения частных производных:
∂Z/∂x = 2x + y - 4
∂Z/∂y = x + 2y - 5
Теперь приравняем обе частные производные к нулю и решим полученную систему уравнений:
2x + y - 4 = 0 ---(1)
x + 2y - 5 = 0 ---(2)
Решим систему уравнений (1) и (2). Умножим (1) на 2 и вычтем из него (2):
4x + 2y - 8 - (x + 2y - 5) = 0
3x - 3 = 0
3x = 3
x = 1
Подставим найденное значение x = 1 в уравнение (1):
2(1) + y - 4 = 0
2 + y - 4 = 0
y = 2
Таким образом, найдены значения x = 1 и y = 2, при которых частные производные равны нулю.
Теперь подставим эти значения x = 1 и y = 2 обратно в исходную функцию Z:
Z = (1)^2 + (2)^2 + (1)(2) - 4(1) - 5(2)
Z = 1 + 4 + 2 - 4 - 10
Z = -7
Итак, экстремум функции Z равен -7.