Question

Исследовать на сходимость числовой ряд
1/3!+1/5!+…+1/(2n+1)!+…

Answer 1

Перепишем ряд $\displaystyle\frac{1}{3!} +\frac{1}{5!} +...+\frac{1}{(2n+1)!}$ в вид

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n+1)!}$

Воспользуемся методом Даламбера:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$

Найдем $a_n$ и $a_{n+1}$:

$a_n=\dfrac{1}{(2n+1)!} \\\\a_{n+1}=\dfrac{1}{(2(n+1)+1)!} =a_{n+1}=\dfrac{1}{(2n+2+1)!}=\dfrac{1}{(2n+3)!}$

Подставляем в формулу:

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\dfrac{1}{(2n+3)!} }{\dfrac{1}{(2n+1)!} }= \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+1)!}{(2n+3)!} = \lim_{n \to \infty}\frac{(2n+1)!}{(2n+1)!(2n+2)(2n+3)} =\\\\= \lim_{n \to \infty}\frac{1}{(2n+2)(2n+3)}= \lim_{n \to \infty} \frac{n^2\times\dfrac{1}{n^2}}{4n^2+10n+6} = \\\\=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2\times\dfrac{1}{n^2} }{n^2\bigg(4+\dfrac{10}{n} +\dfrac{6}{n^2} \bigg)} =\lim_{n \to \infty} \frac{\dfrac{1}{n^2} }{4+\dfrac{10}{n} +\dfrac{6}{n^2}}$

Подставляем бесконечность:

$\displaystyle\frac{\dfrac{1}{\infty^2} }{4+\dfrac{10}{\infty} +\dfrac{6}{\infty^2} } =\frac{0}{4+0+0}=0$

По признаку Даламбера, если лимит меньше 1, то ряд сходится, если больше - расходится. 0 < 1, значит ряд сходится