Ответы
Ответ:
Сумма точек экстремумов функции f(x)=(x–1)²·(x+2) равна 0
Пошаговое объяснение:
Перевод: Найти сумму точек экстремумов функции f(x)=(x–1)²·(x+2).
Информация: 1) Минимумом называют точку x₀, в которой значение функции меньше, чем в некоторой окрестности точки x₀. Максимумом называют точку x₀, в которой значение функции больше, чем в некоторой окрестности точки x₀.
2) Точки минимума и максимума функции называются её точками экстремума.
3) В точках экстремумов производная равна нулю. При этом, если производная изменит знак с "+" на "–" в точке, то эта точка максимума, если производная изменит знак с "–" на "+" в точке, то эта точка минимума.
Решение. 1) Вычислим производную от функции
f'(x) = ((x–1)²·(x+2))' = ((x–1)²)'·(x+2)+(x–1)²·(x+2)' = 2·(x–1)·(x+2)+(x–1)²·1 =
= (x–1)·(2·x+4+x–1) = (x–1)·(3·x+3) = 3·(x–1)·(x+1).
2) Найдём корни уравнения f'(x) = 0:
3·(x–1)·(x+1) = 0 ⇒ x₁ = –1, x₂ = 1.
3) Определим знак производной в каждом промежутке (методом интервалов): (–∞; –1), (–1; 1), (1; +∞).
а) пусть x = -2 ∈ (–∞; –1), то f'(–2) = 3·(–2–1)·(–2+1) = 9 > 0;
б) пусть x = 0 ∈ (–1; 1), то f'(0) = 3·(0–1)·(0+1) = –3 < 0;
в) пусть x = 2 ∈ (1; +∞), то f'(2) = 3·(2–1)·(2+1) = 9 > 0.
Производная
- изменила знак с "+" на "–" в точке x₁ = –1, то x₁ = –1 - точка максимума;
- изменила знак с "–" на "+" в точке x₂ = 1, то x₂ = 1 - точка минимума.
Сумма точек экстремумов функции f(x)=(x–1)²·(x+2) равна
x₁ + x₂ = –1+1 = 0.
#SPJ1