Question

Помогите с аналитической геометрией

Составить уравнение плоскости проходящей через начало координат и
перпендикулярной плоскостям 2x-5y+3z-1=0, x+2y+z=0

Answer 1

Ответ:

Мы имеем систему из двух уравнений:

2x - 5y + 3z - 1 = 0

x + 2y + z = 0

Найдем вектор нормали плоскости, проходящей через их пересечение. Для этого можно воспользоваться методом Крамера. Поставим систему в матричную форму:

| 2 -5 3 | | x | | 1 |

| 1 2 1 | * | y | = | 0 |

| | | z | | 0 |

Найдем определитель этой матрицы:

Δ = | 2 -5 3 |

| 1 2 1 |

| 0 1 -7 |

Δ = 2*(2*(-7) - 1*1) + 5*(1*0 - 0*1) + 3*(0*1 - 1*2) = -41

Теперь найдем определители, где первый столбец заменен на правую сторону системы:

Δx = | 1 -5 3 |

| 0 2 1 |

| 0 1 -7 |

Δx = 1*(2*(-7) - 1*1) + 5*(1*1 - 0*(-7)) + 3*(0*2 - 1*1) = -27

Δy = | 2 1 3 |

| 1 0 1 |

| 0 1 -7 |

Δy = 2*(0*(-7) - 1*1) + 1*(1*1 - 0*(-7)) + 3*(1*1 - 0*1) = -2

Δz = | 2 -5 1 |

| 1 2 0 |

| 0 0 1 |

Δz = 2*(2*1 - 0*0) + 5*(0*1 - 1*0) + 1*(0*2 - 1*1) = 2

Теперь можем найти вектор нормали:

n = (Δx, Δy, Δz) = (-27, -2, 2)

Нормируем его, разделив на длину:

|n| = sqrt((-27)^2 + (-2)^2 + 2^2) = sqrt(733)

n' = n / |n| = (-27/sqrt(733), -2/sqrt(733), 2/sqrt(733))

Таким образом, искомое уравнение просто запишется в виде:

-27/sqrt(733)*x - 2/sqrt(733)*y + 2/sqrt(733)*z = 0

Или, если умножить обе части на sqrt(733):

-27x - 2y + 2z = 0

Ответ: -27x - 2y + 2z = 0.