Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции z = 3xy - 12x^2 - 3y^2 + x на замкнутом множестве, ограниченном линиями x=0, y=2, y=2x

Answer 1

Ответ:

Для решения этой задачи необходимо определить критические точки функции внутри ограниченной области и значения функции на границах этой области.

Сначала найдем критические точки функции. Для этого найдем ее частные производные по x и y:

∂z/∂x = 3y - 24x + 1

∂z/∂y = 3x - 6y

Чтобы найти критические точки, приравняем эти производные к нулю:

3y - 24x + 1 = 0

3x - 6y = 0

Решая эти уравнения, находим x = 1/8 и y = 1/4. Эта точка (1/8, 1/4) лежит внутри ограниченной области.

Теперь найдем значения функции на границах этой области. Границы заданы линиями x=0, y=2 и y=2x.

На линии x=0 функция z = -12x^2 + x принимает наименьшее значение равное 0 при x=0 и наибольшее значение равное 0.5 при x=1/24.

На линии y=2 функция z = 6x - 3y^2 принимает наименьшее значение равное -12 при x=2/3 и наибольшее значение равное 0 при x=0.

На линии y=2x функция принимает вид z = -12x^2 + 12x, и ее наименьшее значение равно -3 при x=1/2, а наибольшее значение равно 0 при x=0 и x=1.

Итак, наименьшее значение функции равно -12, а наибольшее значение равно 0.5.