Question

У трикутній піраміді SABC, основою якої є прямокутний трикутник із гострим кутом A=30°, усі бічні ребра нахилені під кутом 60° до основи. Менший катет до основи дорівнює 6 см. Визначте довжину висоти H піраміди SABC. У відповідь запишіть H/√3 у см.
Знайдіть об'єм V піраміди. У відповідь запишіть 0,75 V у см³​

Answer 1

По условию, меньший катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а острый угол A равен 30°. Это означает, что больший катет равен 6√3 см (по соотношению сторон в прямоугольном треугольнике).

Также, известно, что боковые ребра пирамиды наклонены под углом 60° к основанию. Это означает, что боковые ребра образуют равнобедренный треугольник со сторонами 6√3 см, 6 см и 6 см.

Чтобы найти высоту пирамиды H, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника, образованного высотой H, меньшим катетом и половиной основания пирамиды (равной 6√3/2 см).

Применяя теорему Пифагора, получим:

H² = (6√3)² - (6√3/2)²

H² = 108 - 27

H² = 81

H = 9 см

Таким образом, длина высоты H пирамиды равна 9 см.

Теперь рассчитаем объем V пирамиды. Объем пирамиды можно найти, используя формулу:

V = (1/3) * площадь основания * высота

Площадь основания пирамиды равна площади прямоугольного треугольника, которая равна (1/2) * больший катет * меньший катет:

Площадь основания = (1/2) * 6√3 * 6

Площадь основания = 18√3 см²

Подставим значения в формулу для объема:

V = (1/3) * 18√3 * 9

V = 6√3 * 3

V = 18√3 см³

Итак, объем пирамиды V равен 18√3 см³. Однако, в ответе требуется записать 0,75 V в см³:

0,75 V = 0,75 * 18√3

0,75 V = 13,5√3 см³

Таким образом, в ответе записывается H/√3 = 9/√3 = 3√3 см и 0,75 V = 13,5√3 см³.