Question

ДАЮ 40 БАЛЛОВ!!! справа формулы для решения

Answer 1

Решение.

8) Cпособ подстановки .

$\bf \displaystyle \int \sqrt[3]{\bf (3x+1)^2}\, dx=\Big[\ t=3x+1\ \ ,\ \ dt=t'\, dx=3\, dx\ ,\ dx=\frac{dt}{3}\ \Big]=\\\\\\=\int t^{\frac{2}{3}}\cdot \frac{dt}{3}=\frac{1}{3}\int t^{\frac{2}{3}}\, dt=\frac{3\, t^{\frac{5}{3}}}{5}+C=\frac{3}{5}\, \sqrt[3]{\bf (3x+1)^5}+C$  

9)  Вычислить определённый интеграл . Формула Ньютона-Лейбница .

$\bf \displaystyle \int\limits_{-1}^3\, (3x+1)\, dx=\Big[\ t=3x+1\ \ ,\ \ dt=t'\, dx=3\, dx\ ,\ dx=\frac{dt}{3}\ ,\\\\\\t_1=-2\ ,\ t_2=10\ \Big]=\int \limits _{-2}^{10}t\cdot \frac{dt}{3}=\frac{1}{3}\int \limits _{-2}^{10}t\, dt=\frac{1}{3}\cdot \frac{\, t^{2}}{2}\Big|_{-2}^{10}=\\\\\\=\frac{1}{6}\cdot (100-4)=\frac{1}{6}\cdot 96=16$  

Или можно написать так :

$\bf \displaystyle \int\limits_{-1}^3\, (3x+1)\, dx=\frac{1}{3}\int \limits _{-1}^{3}(3x+1)\cdot d(3x+1)=\frac{1}{3}\cdot \frac{(3x+1)^{2}}{2}\Big|_{-1}^{3}=\\\\\\=\frac{1}{6}\cdot (100-4)=\frac{1}{6}\cdot 96=16$        

10)  Найти площадь области, ограниченной линиями  

$\bf \displaystyle y=\sqrt{x-1}\ ,\ \ x=2\ \ x=3\\\\S=\int\limits_2^3\, \sqrt{x-1}\, dx=\int\limits_2^3\, (x-1)^{\frac{1}{2}}\, dx=\frac{2(x-1)^{\frac{3}{2}}}{3}\Big|_2^3=\frac{2}{3}\cdot \Big(2^{\frac{3}{2}}-1^{\frac{2}{3}}\Big)=\\\\\\=\frac{2}{3}\cdot (\sqrt{8}-1)=\frac{2}{3}\cdot (2\sqrt2-1)=\frac{4\sqrt2}{3}-\frac{2}{3}$