Question

Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z=x³+y³ в точке М (1,2,9).

Answer 1

Ответ:

  $\bf z=x^3+y^3\ \ ,\ \ M_0(1;2;9)$

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x;y) , в точке  M₀(x₀;y₀;z₀)  имеет вид:

$\bf z-z_0=f'(x_0;y_0)(x-x_0)+f'_{y}(x_0;y_0)(y-y_0)$   .  

$\bf f'_{x}(x;y)=3x^2\ \ ,\ \ \ f'_{y}(x;y)=3y^2\\\\f'_{x}(1;2)=3\cdot 1^2=3\ \ ,\ \ \ f'_{y}(1;2)=3\cdot 2^2=12\\\\\\z-9=3\cdot (x-1)+12\cdot (y-2)\\\\z-9=3x-3+12y-24\\\\\boxed{\bf \ 3x+12y-z-18=0\ }$  

Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f(x;y) , в точке  M₀(x₀;y₀;z₀), где z₀ = f(x₀;y₀) , имеют вид:

$\bf \dfrac{x-x_0}{f'_{x}(x_0;y_0)}=\dfrac{y-y_0}{f'_{y}(x_0;y_0)}=\dfrac{z-z_0}{-1}$   .

$\boxed{\ \bf \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-2}{12}=\dfrac{z-9}{-1}\ }$