Question

найти первообразную f(x)=5x^3*3cosX

Answer 1

Ответ:

$15 \sin x \cdot x^3 + 45 \cos x \cdot x^2 - 90 \sin x\cdot x - 90 \cos x + C$

Пошаговое объяснение:

Формула интегрирования по частям :

$\displaystyle \int u \; dv = uv - \int v \; du$

Поскольку показатель x-са равен 3-м , нам придется три раза применить  формулу интегрирования по частям

1.

$\displaystyle \int (5x^3 \cdot 3 \cos x) \; dx = \displaystyle 15\cdot \int (x^3 \cdot \cos x) \; dx$

u = x³ ⇒  du = 3x² dx

$\displaystyle dv = \cos x \Rightarrow v = \int\limits \cos x \, dx = \sin x$

$\displaystyle \int (x^3 \cdot \cos x) \; dx = \sin x \cdot x^3 - \int\limits (\sin x \cdot 3x^2 )\, dx = \sin x \cdot x^3 - \int\limits (\sin x \cdot 3x^2 )\, dx$

2.Второй раз применяем выше указанную формулу

u = 3x²  ⇒ du = 6x

dv = sinx  ⇒ v = - cosx

$\displaystyle \int\limits (\sin x \cdot 3x^2 )\, dx =- \cos x \cdot 3x^2 - \int (- \cos x \cdot 6x)\; dx = \\\\= - \cos x \cdot 3x^2 + \int ( \cos x \cdot 6x)\; dx$

3.И , наконец , в третий

u = 6x  ⇒  du = 6dx

dv = cosx ⇒ v = sinx
$\displaystyle \int ( \cos x \cdot 6x)\; dx=6x\cdot \sin x - \int\limits 6 \sin x \, dx = 6x \cdot \sin x - ( - 6x \cdot \cos x) = \\\\\ = 6x \cdot \sin x + 6 x\cdot \cos x$

Теперь запишем все это целиком :

$\displaystyle \displaystyle \int (x^3 \cdot \cos x) \; dx= \sin x \cdot x^3 - \int\limits (\sin x \cdot 3x^2 )\, dx = \\\\ =\sin x \cdot x^3 + \cos x \cdot 3x^2-\int ( \cos x \cdot 6x)\; dx = \\\\ =\sin x \cdot x^3 + \cos x\cdot 3x^2 - \bigg ( 6x\cdot \sin x - \int\limits 6 \sin x \, dx \bigg ) = \\\\\ \sin x &\cdot x^3 + \cos x\cdot 3x^2 - \bigg ( 6 x\cdot \sin x + 6 \cos x\bigg ) = \\\\\\ = \sin x \cdot x^3 + \cos x \cdot 3x^2 - 6x \cdot \sin x - 6 \cos x$

Тогда

$\displaystyle 15\cdot \int (x^3 \cdot \cos x) \; dx = 15\cdot ( \sin x \cdot x^3 + \cos x \cdot 3x^2 - 6x \cdot \sin x - 6 \cos x) = \\\\\\= 15 \sin x \cdot x^3 + 45 \cos x \cdot x^2 - 90 \sin x\cdot x - 90 \cos x + C$

#SPJ1