Question

Формула по нахождению суммы кубов первых n четных чисел

Answer 1

Ответ:

$\tt 2^3+4^3+6^3+...+n^3 =\dfrac{(n \cdot (n+2))^2}{8}$

Пошаговое объяснение:

Информация: Формула нахождения кубов первых m натуральных чисел:

$\tt 1^3+2^3+3^3+...+m^3 =\left (\dfrac{m \cdot (m+1)}{2} \right )^2.$

Решение. Преобразуем суммы кубов первых n четных чисел (n - чётное):

$\tt 2^3+4^3+6^3+...+n^3 =(2 \cdot 1)^3+(2 \cdot 2)^3+(2 \cdot 3)^3+...+(2 \cdot \dfrac{n}{2})^3 =\\\\=2^3 \cdot \left (1^3+2^3+3^3+...+\left (\dfrac{n}{2} \right )^3 \right )=8 \cdot \left (\dfrac{\left (\dfrac{n}{2} \right ) \cdot \left (\left (\dfrac{n}{2} \right )+1 \right)}{2} \right )^2=\\\\=8 \cdot \left (\dfrac{n \cdot (n+2)}{8} \right )^2=\dfrac{(n \cdot (n+2))^2}{8} .$

#SPJ1