Question

Завод планирует выпускать баки в форме цилиндра без крышки. Расчитай радиус основания и высоту бака, если его объём должен быть равен 19,683π, при этом расход материала на его изготовление должен быть наименьшим.

Радиус основания цилиндра равен: ?
Высота цилиндра равна: ?

Answer 1

Ответ:

Радиус основания цилиндра равен: 2,7 ед.

Высота цилиндра равна: 2,7 ед.

Объяснение:

Завод планирует выпускать баки в форме цилиндра без крышки. Рассчитай радиус основания и высоту бака, если его объём должен быть равен 19,683π, при этом расход материала на его изготовление должен быть наименьшим.

Радиус основания цилиндра равен: ?

Высота цилиндра равна: ?

Чтобы расход материала на изготовление бака был наименьшим, необходимо, чтобы площадь его поверхности S была наименьшей.

Баки в форме цилиндра без крышки.

⇒ S = Sосн. + Sбок. = πR² + 2πRH,

где R - радиус основания, H - высота цилиндра.

Объем цилиндра равен:

        V = πR²H

19,683π = πR²H   ⇒   H = 19,683/R²

Подставим Н в формулу площади:

$\displaystyle S=\pi R^2+2\pi R\cdot \frac{19,683}{R^2} =\pi R^2+\frac{39,366\pi }{R}$

Получили функцию зависимости S от R

$\displaystyle S(R)=\pi R^2+\frac{39,366\pi }{R}$

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни:

$\displaystyle S'(R)=2\pi R-\frac{39,366\pi }{R^2}=\frac{2\pi (R^3-19,683)}{R^2} \\\\S'(R)=0;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\frac{2\pi (R^3-19,683)}{R^2}=0\\\\R=\sqrt[3]{19,683} =2,7;\;\;\;\;\;R\neq 0$

Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.

$---(0)---[2,7]+++$

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒ R min = 2,7

Найдем Н:

H = 19,683/R² = 19,683/7,29 = 2,7

Радиус основания цилиндра равен: 2,7 ед.

Высота цилиндра равна: 2,7 ед.

#SPJ1