Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=3x^4+4x^3+1 на отрезке I=[-2;1]

Answer 1

Алгоритм выполнения задания:

1) Ищем производную от функции

2) Приравниваем производную к нулю и находим критические точки

3) Определяем, какие из точек принадлежат данному отрезку

4) находим значение функции в критических точках и на концах отрезка

Решение:

1) Производная:

$f(x)=3x^4+4x^3+1\\\\f'(x)=12x^3+12x^2$

2) Приравниваем производную к нулю:

$12x^3+12x^2=0\\12x^2(x+1)=0\\x_1=0;x_2=-1$

3) Обе точки попадают в указанный отрезок

4) Находим значение функции на концах отрезка и найденных точках:

$f(-2)=3\times(-2)^4+4\times(-2)^3+1=48-32+1=17\\\\f(-1)=3\times(-1)^4+4\times(-1)^3+1=3-4+1=0\\\\f(0)=3\times0^4+4\times0^3+1=1\\\\f(1)=3\times1^4+4\times1^3+1=8$

Ответ:

$y_\text{min}=0\\y_\text{max}=17$