Question

Доведіть, що при всіх значеннях змінної є правильною нерівність:

Answer 1

$\frac{a^2}{a^4+1}\leq \frac{1}{2} \ \ |\cdot 2(a^4+1), \ 2(a^4+1) > 0 \\ \\ 2a^2\leq a^4+1 \\ \\ a^4-2a^2+1\geq 0 \\ \\ (a^2-1)^2 \geq 0$

Любое действительное число в квадрате всегда ≥0. Доказано

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

a²/(a⁴+1) ≤ 1/2;

a²/(a⁴+1) - 1/2 ≤ 0;

(2a²-(a⁴+1))/(2(a⁴+1))≤0;

дробь отрицательна, если числитель и знаменатель имеют разные знаки. Знаменатель нашей дроби всегда положителен и не равен 0. Значит:

2a²-(a⁴+1) ≤ 0;

2a²-a⁴-1 ≤ 0;

a⁴-2a²+1 ≥ 0;

(a²-1)² ≥ 0;

это выражение всегда положительно, кроме случая, когда a=1 (в этом случае выражение равно 0).

Неравенство доказано.