Пусть ABC – остроугольный треугольник, AD – его биссектриса, а BM – высота. Докажите, что угол DMC больше 45°
Ответы
Ответ:
больше 45°.
Пошаговое объяснение:
Чтобы доказать это утверждение, мы можем воспользоваться свойствами остроугольного треугольника и его биссектрисы и высоты тона.
Поскольку ABC-остроугольный треугольник, то все его углы меньше 90°.
По свойствам биссектрисы, точка В делит сторону BC на две части в пропорции длин смежных сторон AB и AC.
Также, по свойствам высоты, точка M является серединой гипотенузы BC и делит ее на две равные части.
Поскольку AD-биссектриса, угол BDA = угол CDA.
Также, поскольку BM-высота, то угол BMA = угол CMA = 90°.
Рассмотрим треугольник DMC.
В нем углы BDM и CDM положительны, поскольку их сумма составляет 180°.
Также, угол BDM = угол CDM, поскольку БМ-высота.
Следовательно, углы BDM и CDM равны половине угла BDA или CDA.
Поскольку ABC-остроугольный треугольник, углы BDA и CDA меньше 90°.
Тему углы BDM и CDM также меньше половины угла BDA или CDA, то есть меньше 45°.
Таким образом, можно сделать вывод, что угол DMC больше 45°.